- Алгоритмы нахождения кратчайших деревьев в графе.
- Алгоритм Дейкстры (нахождение кратчайшего пути в графе)
- Алгоритм а* (нахождение кратчайшего пути в графе).
- Алгоритм Ли (нахождение кратчайшего пути в решетчатом графе).
- 8. Остовы и деревья
- Минимальное остовное дерево. Алгоритм Прима. Алгоритм Крускала
- Алгоритм Прима
- Реализация алгоритма Прима
- Различия в скорости работы
- brestprog
Алгоритмы нахождения кратчайших деревьев в графе.
Пусть имеется связный неориентированный граф G(V,E), в котором V – множество контактов, а E – множество их возможных попарных соединений. Для каждого ребра графа (u,v) задан неотрицательный вес w(u,v). Задача состоит в нахождении подмножества T E , связывающего все вершины, для которого суммарный вес минимален.
Общая схема алгоритмов такова. Искомое дерево строится постепенно: к изначально пустому множеству A на каждом шаге добавляется одно ребро.
Множество A всегда является подмножеством некоторого минимального дерева. Ребро (u,v), добавляемое на очередном шаге, выбирается так, чтобы не нарушить этого свойства.
Алгоритм Краскала: Рисуем граф, добавляем вес, на каждом этапе выбираем ребро с минимальным весом, так, чтобы не было циклов.
Алгоритм Прима: Формируем дерево из произвольной вершины. Далее выбираем ребро, не относящееся к этому дереву, с минимальным весом.
Алгоритм Дейкстры (нахождение кратчайшего пути в графе)
Алгоритм Дейкстры всякий раз выбирает для обработки вершины с наименьшей оценкой кратчайшего пути.
На каждой итерации выбирается вершина u, имеющая минимальное значение d (выделена серым цветом). (б-е) Вершина и с наименьшим значением d[u] изымается из очереди Q = V \ S и добавляется к множеству S (в первый раз имеем и = s), при этом могут измениться оценки d[v] вершин, смежных с u .
Алгоритм а* (нахождение кратчайшего пути в графе).
Итак, пусть g(v) – стоимость пути от источника до вершины v;
h(v) – нижняя оценка стоимости пути от вершины v до приемника (в качестве h(v) для данной задачи примем расстояние от вершины v до приемника);
f(v) = g(v) + h(v) — нижняя оценка стоимости пути от источника до приемника, проходящего через вершину v.
1) Среди вершин графа, граничащих с приемником, найти вершину v, имеющую наименьшую оценку f(v);
2) Если вершина v не граничит с источником определить среди вершин, достижимых из v, вершину v1 с наименьшей оценкой f1(v);
3) Если вершина v граничит с источником, она является единственной вершиной графа между источником и приемником;
4) Поиск прекращается, когда найдена вершина vn, граничащая с источником.
Алгоритм Ли (нахождение кратчайшего пути в решетчатом графе).
Предполагается, что пути проходят по ячейкам прямоугольной координатной сетки. Для модели печатной платы граф выглядит как решетка, где каждая вершина, символизирующая кусочек печатной платы, имеет соседей с четырех сторон, за исключением краев платы, где соседей меньше.
Пусть требуется найти путь в лабиринте от точки A до точки B. Запишем единицу в каждую пустую ячейку, являющуюся непосредственным соседом ячейки A (рис.2.6.b).
Затем во все пустые ячейки, которые соседствуют с ячейками, содержащими единицы, вписываются двойки. Затем за цифрами 2 записываются цифры 3 и т.д. Процесс продолжается до тех пор, пока не произойдет одно из двух событий:
все пути окажутся заблокированными, т.е. на k-м шаге не останется пустых ячеек, соседствующих с ячейками, содержащими число (k – 1);
будет достигнута ячейка, содержащая B. В последнем случае запускается «обратная волна» и легко определяется кратчайший путь (или пути) между точками A и B.
Источник
8. Остовы и деревья
Понятие дерева широко используется во многих областях математики и информатики. Например, как инструмент при вычислениях, как удобный способ хранения данных, способ сортировки или поиска данных.
Достаточно развитое генеалогическое дерево образует дерево.
Типичное частичное организационное дерево для университета.
Если дерево имеет хотя бы одно ребро, оно имеет две вершины со степенью 1. Вершины со степенью 1 называются листьями. Другие вершины называются внутренними вершинами.
Предположим, что дерево представляет физический объект, подвижный в вершинах, и подвесим дерево за одну из его вершин:
Если подвесить за вершину V3 или V4
Вершина в верхней части называется корнем дерева, если корень определен, то дерево называется корневым. При необходимости корневое дерево Т можно заменить на ориентированное корневое дерево Т’, порожденное корневым деревом Т.
Если корень выбран, уровень вершины V определяется длиной единственного пути из корня в вершину V. Высотой дерева называется длина самого длинного пути от корня дерева до листа.
Если рассматривается корневое ориентированное дерево Т’, порожденное данным корневым деревом Т, тогда вершина u называется родителем вершины v; a v называется сыном вершины u, если существует ориентированное ребро из u в v.
Если u — родитель v и v1, тогда v и v1 называются братьями.
Если существует ориентированный путь из вершины u в вершину v, тогда u называется предком вершины v, a v называется потомком вершины u.
Если наибольшая из степеней выхода для вершин дерева равна m, тогда дерево называется m — арным деревом.
В частном случае, когда m = 2, дерево называется бинарным деревом.
В каждом бинарном дереве каждый сын родителя обозначается либо как левый сын, либо как правый сын (но не то и другое одновременно).
Связный граф G(V,E), не имеющий циклов, называется деревом.
ТЕОРЕМА (основные свойства деревьев):
Пусть граф G(V,E) имеет n вершин. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
- G является деревом;
- G не содержит циклов и имеет n-1 рёбер;
- G связен и имеет n-1 рёбер;
- G связен, но удаление » ребра нарушает связность;
- » две вершины графа G соединены ровно одним путём;
- G не имеет циклов, но добавление » ребра порождает ровно один цикл.
Ориентированное дерево представляет собой ориентированный граф без циклов, в котором полустепень захода каждой вершины (за исключением одной, например v1) не больше 1, а полустепень захода вершины v1 (называемой также корнем) равна нулю. Вершину v ордерева называют потомком вершины u, если $ путь из u в v. В этом же случае вершину u называют предком вершины v. Вершину, не имеющую потомков, называют листом. Высота ордерева – это наибольшая длина пути из корня в лист. Уровень вершины ордерева – длина пути из корня в эту вершину. Ордерево называют бинарным, если полустепень исхода любой его вершины не превосходит 2. Пусть задан неориентированный граф. Остовным деревом (остовом) связного графа называется любой его остовный подграф, являющийся деревом.
Граф и два его остовных дерева (удаленные ребра показаны пунктиром).
Задачи о кратчайших расстояниях на графах.
- Построение минимального остовного дерева (кратчайшей связывающей сети) – соединение всех узлов сети с помощью путей наименьшей длины.
- Задача о нахождении дерева кратчайших расстояний – нахождение кратчайшего пути из одной вершины в любую другую.
- Построение матрицы кратчайших расстояний – нахождение кратчайших путей для любой пары вершин.
Необходимо проложить линии коммуникаций (дороги, линии связи, электропередач и т.п.) между n заданными «точечными» объектами, при условии: во-первых, известны «расстояния» между каждой парой объектов (это может быть геометрическое расстояние или стоимость прокладки коммуникаций между ними), во-вторых, объекты могут быть связаны как непосредственно, так и с участием произвольного количества промежуточных объектов. При допущении, что разветвления возможны только в этих же n объектах, задача сводится к нахождению кратчайшего остовного дерева (SST — shortest spanning tree, или MST — minimal spanning tree) во взвешенном графе, вершины которого соответствуют заданным объектам, а веса ребер равны «расстояниям» между ними. Определение.Весостовного дерева взвешенного графа G равен сумме весов, приписанных ребрам остовного дерева. Будем обозначать (T). Минимальным остовным деревом (МОД) называется такое остовное дерево графа G, что вес T меньше или равен весу любого другого остовного дерева графа G. Вес минимального остовного дерева будем обозначать min(T). Задача 1:найти кратчайшее остовное дерево (минимальный покрывающий остов) взвешенного графа. Пусть дан неориентированный связный граф со взвешенными ребрами. Вес ребра (xi,xj) обозначим cij. Из всех остовов графа необходимо найти один, у которого сумма весов на ребрах наименьшая. Стоимость остовного дерева вычисляется как сумма стоимостей всех рёбер, входящих в это дерево. Построение остова графа G, имеющего наименьший вес, имеет широкое применение при решении некоторого класса задач прикладного характера. Например: Пусть, например, G=(V, E, ) служит моделью железнодорожной сети, соединяющей пункты v1, v2, …, vnV, а (vi, vj) – расстояние между пунктами vi и vj. Требуется проложить сеть телеграфных линий вдоль железнодорожной сети так, чтобы все пункты v1, v2, …, vn были связаны между собой телеграфной сетью, протяженность которой была бы наименьшей. Рассмотрим два способа построения минимального остовного дерева взвешенного графа: алгоритм Крускала и алгоритм Прима. Алгоритм Крускала: 1) Выбрать в графе G ребро e минимального веса, не принадлежащее множеству E и такое, что его добавление в E не создает цикл в дереве T. 2) Добавить это ребро во множество ребер E. 3) Продолжить, пока имеются ребра, обладающие указанными свойствами. Пример. Для данного взвешенного графа найти минимальное корневое остовное дерево, используя алгоритм Крускала. Определить высоту построенного дерева.
Алгоритм Крускала. Выбираем ребро с минимальным весом. Это ребро, (
,
) с весом, равным 4. Пусть вершина
будет корнем дерева. Далее выбираем ребра, инцидентные вершинам
,
и имеющие минимальный вес. Это ребро (
,
) с весом 5. Затем к вершине
присоединяем ребро (
,
) с весом 7. Далее, добавляем ребро (
,
) с весом 7 и ребро (
,
) с весом 6. Минимальный вес построенного дерева равен: min(T)=4+5+7+7+6=29.
Источник
Минимальное остовное дерево. Алгоритм Прима. Алгоритм Крускала
Остовным деревом графа называется дерево, которое можно получить из него путём удаления некоторых рёбер. У графа может существовать несколько остовных деревьев, и чаще всех их достаточно много.
На иллюстрации приведено одно из остовных деревьев (рёбра выделены синим цветом) решёткообразного графа.
Для взвешенных графов существует понятие веса остовного дерева, которое определено как сумма весов всех рёбер, входящих в остовное дерево. Из него натурально вытекает понятие минимального остовного дерева — остовного дерева с минимальным возможным весом.
Для нахождения минимального остовного дерева графа существуют два основных алгоритма: алгоритм Прима и алгоритм Крускала. Они оба имеют сложность \(O(M \log N)\), поэтому выбор одного из них зависит от ваших личных предпочтений. В этой лекции мы разберём оба.
Алгоритм Прима
Алгоритм Прима в идее и реализации очень похож на алгоритм Дейкстры. Как и в алгоритме Дейкстры, мы поддерживаем уже обработанную часть графа (минимального остовного дерева), и постепенно её расширяем за счёт ближайших вершин.
Утверждается, что если разделить вершины графа на два множества (обработанные и необработанные), первое из которых составляет связную часть минимального остовного дерева, то ребро минимальной длины, связывающее эти два множества гарантированно будет входить в минимальное остовное дерево.
Таким образом, для нахождения минимального остовного дерева начнём с произвольной вершины и будем постепенно добавлять ближайшие к уже имеющимся.
На иллюстрации красным цветом выделены рёбра, уже вошедшие в минимальный остов, а чёрным — текущие кандидаты, из которых выбирается ребро с минимальным весом.
Реализация алгоритма Прима
Будем искать вес минимального остовного дерева. Для нахождения ближайшей вершины воспользуемся очередью с приоритетом (аналогично алгоритму Дейкстры), в которой будем хранить пары (расстояние от остова до вершины, номер вершины).
Различия в скорости работы
Хотя оба алгоритма работают за \(O(M \log N)\), существуют константные различия в скорости их работы. На разреженных графах (количество рёбер примерно равно количеству вершин) быстрее работает алгоритм Крускала, а на насыщенных (количество рёбер примерно равно квадрату количеству вершин) — алгоритм Прима (при использовании матрицы смежности).
На практике чаще используется алгоритм Крускала.
brestprog
Олимпиадное программирование в Бресте и Беларуси
Источник