Алгоритм построения дерева штейнера

Дерево Штейнера с евклидовой метрикой

• Евклидово расстояние ||uv||₂=((u_x–v_x) 2 + (u_y–u_y) 2 ) 1/2 ;
• Прямоугольное расстояние ||uv||₁=|u_x–v_x| + |u_y–u_y|.

Алгоритм построения дерева Штейнера с евклидовой метрикой

На плоскости задано Nточек, изF- терминальные. Алгоритм приблизительного построения дерева Штейнера:

1. Построить полносвязный граф G’=(N,E’) на вершинахN. Расстоянием между двумя вершинами этого графа будет кратчайшее расстояние между этими вершинами. Взять эти расстояния в качестве весов.
2. Найти минимальное каркасное дерево Т’ полносвязного графа G’.
3. Подставить минимальное каркасное дерево T’ в исходный графG. Заменить каждое ребро дереваT’ минимальным путем исходного графаG. В результате получится новый графT’’ (не всегдаT’’ будет деревом).
4. Найти каркасное дерево графа T’’, которое будет приблизительным деревом Штейнера.

Аппроксимационное отношение этого алгоритма равно 2. Пример G=(V,E) N= G’=(N,E’) Рис.3.4.4. Построение дерева Штейнера (выделено жирным) Замечание Е Пример сли допускается введение на плоскости дополнительных «искусственных» вершин (они становятся вершинами Штейнера), то вес минимального дерева Штейнера можно уменьшить соответствующим подбором вершин Штейнера. Исходная задача Дерево Штейнера (длина=9) Дерево Штейнера с дополнительными вершинами Штейнера (длина=7) Рис.3.4.5. Решение задачи Штейнера в прямоугольных координатах

1. Деревья Штейнера с ограничениями
   1. Д

      Определение

      ерево Штейнера с ограничением степеней

Задан простой связной ненаправленный G=(V,E)cnвершинами, неотрицательными весами реберc_ij, подмножеством терминальных вершинZVи ограничениями степеней вершинk_i2. Проблемой Штейнера с ограничениями на степени вершин (TheDegree-constrainedSteinerProblem–DCSP) является нахождение на графе дерева Т такого, что степень каждой вершины дереваdeg(i)k_i, а сумма весов ребер этого дерева минимальна среди всех возможных деревьев с ограничениями на степени вершин. Класс сложности Класс сложности DCSP–NP-тяжелая. Алгоритмы Точные алгоритмы решения DCSP(алгоритм перечисления каркасных деревьев и динамический программный алгоритм) имеют сложностьO(p 2 2 ( n — p ) +n 3 ) иO(n3 p +n 2 2 p +n) соответственно. Получить решения в приемлимое время для графа с десятком вершин проблематично. Существует достаточно большое число эвристических алгоритмов, ряд из них дает расхождение решения на 10% от точного решения.

Д

Определение

ерево Штейнера с ограничением запаздывания

Задан простой связный ненаправленный граф G=(V,E) и две весовые функции на ребрах графа: функция стоимости с_ij и функция запаздыванияD_ij. Обе функции являются целыми положительными числами. Кроме того, задана вершина-истокsи терминальные вершиныSV. Проблема нахождения дерева Штейнера с ограничением запаздывания: Найти дерево Штейнера при условии, сумма запаздываний всех путей этого дерева от вершины sво все терминальные вершины не превышает некоторой положительной величины. Класс сложности Класс сложности данной проблемы – NP-тяжелый. Алгоритмы Имеется несколько эвристических алгоритмов решения данной проблемы.

Источник

Дерево Штейнера с евклидовой метрикой

• Евклидово расстояние ||uv||₂=((u_x–v_x) 2 + (u_y–u_y) 2 ) 1/2 ;
• Прямоугольное расстояние ||uv||₁=|u_x–v_x| + |u_y–u_y|.

Алгоритм построения дерева Штейнера с евклидовой метрикой

На плоскости задано Nточек, изF- терминальные. Алгоритм приблизительного построения дерева Штейнера:

1. Построить полносвязный граф G’=(N,E’) на вершинахN. Расстоянием между двумя вершинами этого графа будет кратчайшее расстояние между этими вершинами. Взять эти расстояния в качестве весов.
2. Найти минимальное каркасное дерево Т’ полносвязного графа G’.
3. Подставить минимальное каркасное дерево T’ в исходный графG. Заменить каждое ребро дереваT’ минимальным путем исходного графаG. В результате получится новый графT’’ (не всегдаT’’ будет деревом).
4. Найти каркасное дерево графа T’’, которое будет приблизительным деревом Штейнера.

Аппроксимационное отношение этого алгоритма равно 2. Пример G=(V,E) N= G’=(N,E’) Рис.3.4.4. Построение дерева Штейнера (выделено жирным) Замечание Е Пример сли допускается введение на плоскости дополнительных «искусственных» вершин (они становятся вершинами Штейнера), то вес минимального дерева Штейнера можно уменьшить соответствующим подбором вершин Штейнера. Исходная задача Дерево Штейнера (длина=9) Дерево Штейнера с дополнительными вершинами Штейнера (длина=7) Рис.3.4.5. Решение задачи Штейнера в прямоугольных координатах

1. Деревья Штейнера с ограничениями
   1. Д

      Определение

      ерево Штейнера с ограничением степеней

Задан простой связной ненаправленный G=(V,E)cnвершинами, неотрицательными весами реберc_ij, подмножеством терминальных вершинZVи ограничениями степеней вершинk_i2. Проблемой Штейнера с ограничениями на степени вершин (TheDegree-constrainedSteinerProblem–DCSP) является нахождение на графе дерева Т такого, что степень каждой вершины дереваdeg(i)k_i, а сумма весов ребер этого дерева минимальна среди всех возможных деревьев с ограничениями на степени вершин. Класс сложности Класс сложности DCSP–NP-тяжелая. Алгоритмы Точные алгоритмы решения DCSP(алгоритм перечисления каркасных деревьев и динамический программный алгоритм) имеют сложностьO(p 2 2 ( n — p ) +n 3 ) иO(n3 p +n 2 2 p +n) соответственно. Получить решения в приемлимое время для графа с десятком вершин проблематично. Существует достаточно большое число эвристических алгоритмов, ряд из них дает расхождение решения на 10% от точного решения.

Д

Определение

ерево Штейнера с ограничением запаздывания

Задан простой связный ненаправленный граф G=(V,E) и две весовые функции на ребрах графа: функция стоимости с_ij и функция запаздыванияD_ij. Обе функции являются целыми положительными числами. Кроме того, задана вершина-истокsи терминальные вершиныSV. Проблема нахождения дерева Штейнера с ограничением запаздывания: Найти дерево Штейнера при условии, сумма запаздываний всех путей этого дерева от вершины sво все терминальные вершины не превышает некоторой положительной величины. Класс сложности Класс сложности данной проблемы – NP-тяжелый. Алгоритмы Имеется несколько эвристических алгоритмов решения данной проблемы.

Источник

Дерево Штейнера с евклидовой метрикой

• Евклидово расстояние ||uv||₂=((u_x–v_x) 2 + (u_y–u_y) 2 ) 1/2 ;
• Прямоугольное расстояние ||uv||₁=|u_x–v_x| + |u_y–u_y|.

Алгоритм построения дерева Штейнера с евклидовой метрикой

На плоскости задано Nточек, изF- терминальные. Алгоритм приблизительного построения дерева Штейнера:

1. Построить полносвязный граф G’=(N,E’) на вершинахN. Расстоянием между двумя вершинами этого графа будет кратчайшее расстояние между этими вершинами. Взять эти расстояния в качестве весов.
2. Найти минимальное каркасное дерево Т’ полносвязного графа G’.
3. Подставить минимальное каркасное дерево T’ в исходный графG. Заменить каждое ребро дереваT’ минимальным путем исходного графаG. В результате получится новый графT’’ (не всегдаT’’ будет деревом).
4. Найти каркасное дерево графа T’’, которое будет приблизительным деревом Штейнера.

Аппроксимационное отношение этого алгоритма равно 2. Пример G=(V,E) N= G’=(N,E’) Рис.3.4.4. Построение дерева Штейнера (выделено жирным) Замечание Е Пример сли допускается введение на плоскости дополнительных «искусственных» вершин (они становятся вершинами Штейнера), то вес минимального дерева Штейнера можно уменьшить соответствующим подбором вершин Штейнера. Исходная задача Дерево Штейнера (длина=9) Дерево Штейнера с дополнительными вершинами Штейнера (длина=7) Рис.3.4.5. Решение задачи Штейнера в прямоугольных координатах

1. Деревья Штейнера с ограничениями
   1. Д

      Определение

      ерево Штейнера с ограничением степеней

Задан простой связной ненаправленный G=(V,E)cnвершинами, неотрицательными весами реберc_ij, подмножеством терминальных вершинZVи ограничениями степеней вершинk_i2. Проблемой Штейнера с ограничениями на степени вершин (TheDegree-constrainedSteinerProblem–DCSP) является нахождение на графе дерева Т такого, что степень каждой вершины дереваdeg(i)k_i, а сумма весов ребер этого дерева минимальна среди всех возможных деревьев с ограничениями на степени вершин. Класс сложности Класс сложности DCSP–NP-тяжелая. Алгоритмы Точные алгоритмы решения DCSP(алгоритм перечисления каркасных деревьев и динамический программный алгоритм) имеют сложностьO(p 2 2 ( n — p ) +n 3 ) иO(n3 p +n 2 2 p +n) соответственно. Получить решения в приемлимое время для графа с десятком вершин проблематично. Существует достаточно большое число эвристических алгоритмов, ряд из них дает расхождение решения на 10% от точного решения.

Д

Определение

ерево Штейнера с ограничением запаздывания

Задан простой связный ненаправленный граф G=(V,E) и две весовые функции на ребрах графа: функция стоимости с_ij и функция запаздыванияD_ij. Обе функции являются целыми положительными числами. Кроме того, задана вершина-истокsи терминальные вершиныSV. Проблема нахождения дерева Штейнера с ограничением запаздывания: Найти дерево Штейнера при условии, сумма запаздываний всех путей этого дерева от вершины sво все терминальные вершины не превышает некоторой положительной величины. Класс сложности Класс сложности данной проблемы – NP-тяжелый. Алгоритмы Имеется несколько эвристических алгоритмов решения данной проблемы.

Источник