Алгоритм построения графа дерева

Алгоритм Прима

Алгоритм Прима (англ. Prim’s algorithm) — алгоритм поиска минимального остовного дерева (англ. minimum spanning tree, MST) во взвешенном неориентированном связном графе.

Идея

Данный алгоритм очень похож на алгоритм Дейкстры. Будем последовательно строить поддерево [math]F[/math] ответа в графе [math]G[/math] , поддерживая приоритетную очередь [math]Q[/math] из вершин [math]G \setminus F[/math] , в которой ключом для вершины [math]v[/math] является [math]\min\limits_w(uv)[/math] — вес минимального ребра из вершин [math]F[/math] в вершины [math]G \setminus F[/math] . Также для каждой вершины в очереди будем хранить [math]p(v)[/math] — вершину [math]u[/math] , на которой достигается минимум в определении ключа. Дерево [math]F[/math] поддерживается неявно, и его ребра — это пары [math]\left(v,p(v)\right)[/math] , где [math]v \in G \setminus \ \setminus Q[/math] , а [math]r[/math] — корень [math]F[/math] . Изначально [math]F[/math] пусто и значения ключей у всех вершин равны [math]+\infty[/math] . Выберём произвольную вершину [math]r[/math] и присвоим её ключу значение [math]0[/math] . На каждом шаге будем извлекать минимальную вершину [math]v[/math] из приоритетной очереди и релаксировать все ребра [math]vu[/math] , такие что [math]u \in Q[/math] , выполняя при этом операцию [math]\text[/math] над очередью и обновление [math]p(v)[/math] . Ребро [math]\left(v,p(v)\right)[/math] при этом добавляется к ответу.

Реализация

// [math]G[/math] — исходный граф // [math]w[/math] — весовая функция function [math]\mathtt():[/math] for [math]v \in V(G)[/math] [math]\mathtt[v]\ =\ \infty[/math] [math]\mathtt
[v]\ =[/math] null [math]r\ =[/math] произвольная вершина графа [math]G[/math] [math]\mathtt[r]\ =\ \mathtt[/math] [math]Q.\mathtt(V(G))[/math] while not [math]Q.\mathtt[/math] [math]v\ =\ Q.\mathtt()[/math] for [math]vu \in E(G)[/math] if [math]u \in Q[/math] and [math]\mathtt[u] \gt w(v, u)[/math] [math]\mathtt
[u]\ =\ v[/math] [math]\mathtt[u]\ =\ w(v, u)[/math] [math]Q.\mathtt(u, \mathtt[u])[/math] 

Ребра дерева восстанавливаются из его неявного вида после выполнения алгоритма.
Чтобы упростить операцию [math]\mathrm[/math] можно написать кучу на основе сбалансированного бинарного дерева поиска. Тогда просто удалим вершину и добавим ее обратно уже с новым ключом. Асимптотика таких преобразований [math]O(\log n)[/math] . Если же делать с бинарной кучей, то вместо операции [math]\mathrm[/math] , будем всегда просто добавлять вершину с новым ключом, если из кучи достали вершину с ключом, значение которого больше чем у нее уже стоит, просто игнорировать. Вершин в куче будет не больше [math]n^2[/math] , следовательно, операция [math]\mathrm[/math] будет выполняться за [math]O(\log n^2)[/math] , что равно [math]O(\log n)[/math] . Максимальное количество вершин, которое мы сможем достать, равняется количеству ребер, то есть [math]m[/math] , поэтому общая асимптотика составит [math]O(m \log n)[/math] , что хорошо только на разреженных графах.

Пример

Рассмотрим работу алгоритма на примере графа. Пусть произвольно выбранная вершина — это вершина a.

Корректность

По поддерживаемым инвариантам после извлечения вершины [math]v\ (v \neq r)[/math] из [math]Q[/math] ребро [math]\left(v,p(v)\right)[/math] является ребром минимального веса, пересекающим разрез [math]\left(F,Q\right)[/math] . Значит, по лемме о безопасном ребре, оно безопасно. Алгоритм построения MST, добавляющий безопасные ребра, причём делающий это ровно [math]|V|-1[/math] раз, корректен.

Оценка производительности

Производительность алгоритма Прима зависит от выбранной реализации приоритетной очереди, как и в алгоритме Дейкстры. Извлечение минимума выполняется [math]V[/math] раз, релаксация — [math]O(E)[/math] раз.

Структура данных для приоритетной очереди	Асимптотика времени работы
Наивная реализация	[math]O(V^2+E)[/math]
Двоичная куча	[math]O(E\log)[/math]
Фибоначчиева куча	[math]O(V\log+E)[/math]

См. также

Источники информации

• Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн — Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. Пер. с англ. — М.:Издательский дом «Вильямс», 2010. — с.653 — 656.— ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)
• Википедия — Алгоритм Прима
• Wikipedia — Prim’s algorithm
• MAXimal :: algo :: Минимальное остовное дерево. Алгоритм Прима

Источник

8. Остовы и деревья

Понятие дерева широко используется во многих областях математики и информатики. Например, как инструмент при вычислениях, как удобный способ хранения данных, способ сортировки или поиска данных.

Достаточно развитое генеалогическое дерево образует дерево.

Типичное частичное организационное дерево для университета.

Если дерево имеет хотя бы одно ребро, оно имеет две вершины со степенью 1. Вершины со степенью 1 называются листьями. Другие вершины называются внутренними вершинами.

Предположим, что дерево представляет физический объект, подвижный в вершинах, и подвесим дерево за одну из его вершин:

Если подвесить за вершину V3 или V4

Вершина в верхней части называется корнем дерева, если корень определен, то дерево называется корневым. При необходимости корневое дерево Т можно заменить на ориентированное корневое дерево Т’, порожденное корневым деревом Т.

Если корень выбран, уровень вершины V определяется длиной единственного пути из корня в вершину V. Высотой дерева называется длина самого длинного пути от корня дерева до листа.

Если рассматривается корневое ориентированное дерево Т’, порожденное данным корневым деревом Т, тогда вершина u называется родителем вершины v; a v называется сыном вершины u, если существует ориентированное ребро из u в v.

Если u — родитель v и v1, тогда v и v1 называются братьями.

Если существует ориентированный путь из вершины u в вершину v, тогда u называется предком вершины v, a v называется потомком вершины u.

Если наибольшая из степеней выхода для вершин дерева равна m, тогда дерево называется m — арным деревом.

В частном случае, когда m = 2, дерево называется бинарным деревом.

В каждом бинарном дереве каждый сын родителя обозначается либо как левый сын, либо как правый сын (но не то и другое одновременно).

Связный граф G(V,E), не имеющий циклов, называется деревом.

ТЕОРЕМА (основные свойства деревьев):

Пусть граф G(V,E) имеет n вершин. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1. G является деревом;
2. G не содержит циклов и имеет n-1 рёбер;
3. G связен и имеет n-1 рёбер;
4. G связен, но удаление » ребра нарушает связность;
5. » две вершины графа G соединены ровно одним путём;
6. G не имеет циклов, но добавление » ребра порождает ровно один цикл.

Ориентированное дерево представляет собой ориентированный граф без циклов, в котором полустепень захода каждой вершины (за исключением одной, например v₁) не больше 1, а полустепень захода вершины v₁ (называемой также корнем) равна нулю. Вершину v ордерева называют потомком вершины u, если $ путь из u в v. В этом же случае вершину u называют предком вершины v. Вершину, не имеющую потомков, называют листом. Высота ордерева – это наибольшая длина пути из корня в лист. Уровень вершины ордерева – длина пути из корня в эту вершину. Ордерево называют бинарным, если полустепень исхода любой его вершины не превосходит 2. Пусть задан неориентированный граф. Остовным деревом (остовом) связного графа называется любой его остовный подграф, являющийся деревом. Граф и два его остовных дерева (удаленные ребра показаны пунктиром).Задачи о кратчайших расстояниях на графах.

1. Построение минимального остовного дерева (кратчайшей связывающей сети) – соединение всех узлов сети с помощью путей наименьшей длины.
2. Задача о нахождении дерева кратчайших расстояний – нахождение кратчайшего пути из одной вершины в любую другую.
3. Построение матрицы кратчайших расстояний – нахождение кратчайших путей для любой пары вершин.

Необходимо проложить линии коммуникаций (дороги, линии связи, электропередач и т.п.) между n заданными «точечными» объектами, при условии: во-первых, известны «расстояния» между каждой парой объектов (это может быть геометрическое расстояние или стоимость прокладки коммуникаций между ними), во-вторых, объекты могут быть связаны как непосредственно, так и с участием произвольного количества промежуточных объектов. При допущении, что разветвления возможны только в этих же n объектах, задача сводится к нахождению кратчайшего остовного дерева (SST — shortest spanning tree, или MST — minimal spanning tree) во взвешенном графе, вершины которого соответствуют заданным объектам, а веса ребер равны «расстояниям» между ними. Определение.Весостовного дерева взвешенного графа G равен сумме весов, приписанных ребрам остовного дерева. Будем обозначать (T). Минимальным остовным деревом (МОД) называется такое остовное дерево графа G, что вес T меньше или равен весу любого другого остовного дерева графа G. Вес минимального остовного дерева будем обозначать _min(T). Задача 1:найти кратчайшее остовное дерево (минимальный покрывающий остов) взвешенного графа. Пусть дан неориентированный связный граф со взвешенными ребрами. Вес ребра (x_i,x_j) обозначим c_ij. Из всех остовов графа необходимо найти один, у которого сумма весов на ребрах наименьшая. Стоимость остовного дерева вычисляется как сумма стоимостей всех рёбер, входящих в это дерево. Построение остова графа G, имеющего наименьший вес, имеет широкое применение при решении некоторого класса задач прикладного характера. Например: Пусть, например, G=(V, E, ) служит моделью железнодорожной сети, соединяющей пункты v₁, v₂, …, v_nV, а (v_i, v_j) – расстояние между пунктами v_i и v_j. Требуется проложить сеть телеграфных линий вдоль железнодорожной сети так, чтобы все пункты v₁, v₂, …, v_n были связаны между собой телеграфной сетью, протяженность которой была бы наименьшей. Рассмотрим два способа построения минимального остовного дерева взвешенного графа: алгоритм Крускала и алгоритм Прима. Алгоритм Крускала: 1) Выбрать в графе G ребро e минимального веса, не принадлежащее множеству E и такое, что его добавление в E не создает цикл в дереве T. 2) Добавить это ребро во множество ребер E. 3) Продолжить, пока имеются ребра, обладающие указанными свойствами. Пример. Для данного взвешенного графа найти минимальное корневое остовное дерево, используя алгоритм Крускала. Определить высоту построенного дерева. Алгоритм Крускала. Выбираем ребро с минимальным весом. Это ребро, (, ) с весом, равным 4. Пусть вершина будет корнем дерева. Далее выбираем ребра, инцидентные вершинам , и имеющие минимальный вес. Это ребро (, ) с весом 5. Затем к вершине присоединяем ребро (,) с весом 7. Далее, добавляем ребро (, ) с весом 7 и ребро (,) с весом 6. Минимальный вес построенного дерева равен: _min(T)=4+5+7+7+6=29.

Источник

Минимальное остовное дерево. Алгоритм Прима. Алгоритм Крускала

Остовным деревом графа называется дерево, которое можно получить из него путём удаления некоторых рёбер. У графа может существовать несколько остовных деревьев, и чаще всех их достаточно много.

На иллюстрации приведено одно из остовных деревьев (рёбра выделены синим цветом) решёткообразного графа.

Для взвешенных графов существует понятие веса остовного дерева, которое определено как сумма весов всех рёбер, входящих в остовное дерево. Из него натурально вытекает понятие минимального остовного дерева — остовного дерева с минимальным возможным весом.

Для нахождения минимального остовного дерева графа существуют два основных алгоритма: алгоритм Прима и алгоритм Крускала. Они оба имеют сложность \(O(M \log N)\), поэтому выбор одного из них зависит от ваших личных предпочтений. В этой лекции мы разберём оба.

Алгоритм Прима

Алгоритм Прима в идее и реализации очень похож на алгоритм Дейкстры. Как и в алгоритме Дейкстры, мы поддерживаем уже обработанную часть графа (минимального остовного дерева), и постепенно её расширяем за счёт ближайших вершин.

Утверждается, что если разделить вершины графа на два множества (обработанные и необработанные), первое из которых составляет связную часть минимального остовного дерева, то ребро минимальной длины, связывающее эти два множества гарантированно будет входить в минимальное остовное дерево.

Таким образом, для нахождения минимального остовного дерева начнём с произвольной вершины и будем постепенно добавлять ближайшие к уже имеющимся.

На иллюстрации красным цветом выделены рёбра, уже вошедшие в минимальный остов, а чёрным — текущие кандидаты, из которых выбирается ребро с минимальным весом.

Реализация алгоритма Прима

Будем искать вес минимального остовного дерева. Для нахождения ближайшей вершины воспользуемся очередью с приоритетом (аналогично алгоритму Дейкстры), в которой будем хранить пары (расстояние от остова до вершины, номер вершины).

Различия в скорости работы

Хотя оба алгоритма работают за \(O(M \log N)\), существуют константные различия в скорости их работы. На разреженных графах (количество рёбер примерно равно количеству вершин) быстрее работает алгоритм Крускала, а на насыщенных (количество рёбер примерно равно квадрату количеству вершин) — алгоритм Прима (при использовании матрицы смежности).

На практике чаще используется алгоритм Крускала.

brestprog

Олимпиадное программирование в Бресте и Беларуси

Источник