Число висячих вершин дерева

Art of Math

Начнем с определений.
Определение 10. Дерево — связный граф, в котором нет циклов.
Определение 11. Висячая вершина — это вершина, локальная степень которой равна 1.

В доказательстве теоремы Кэли нам поможет небольшая лемма.

Лемма (Теорема 5). В любом дереве найдутся по-крайней мере две висячие вершины.

Доказательство. Выберем произвольную вершину дерева. Если ее степень 1, лемма доказана, иначе будем идти из нее по дереву, отмечая при обходе пройденные вершины, постоянно направляясь только в неотмеченные вершины. Понятно, что этот процесс кончится, тогда мы окажемся в вершине, из которой можно попасть либо только в помеченные вершины, либо совсем никуда. Если мы можем попасть в помеченные вершины, значит в графе есть цикл, что невозможно, значит степень вершины, в которой мы оказались равна 1. То есть, одну висячую вершину мы получили. Теперь снова сделаем все вершины непомеченными и повторим процесс для полученной нами висячей вершины, получив вторую висячую вершину. Лемма доказана.

Теорема 6 (Кэли). Число различных деревьев, которые можно построить на множестве V из N вершин, равно N^(N-2).

Доказательство.
Пронумеруем вершины от 1 до N. Рассмотрим произвольное дерево T такое, что множество его вершин совпадает с V. Выберем в нем висячую вершину с наименьшим номером, которая соединена с вершиной b1, удалим ее вместе с ребром из T, получив дерево T1. Будем вновь проделывать такие же операции с получающимися деревьями, пока оставшийся граф не будет представлять из себя две вершины при ребре. Таким образом, мы получим последовательность bi=.
Докажем теперь, что каждая такая последовательность однозначно задает дерево. Просто приведем алгоритм, который однозначно восстанавливает дерево. Алгоритм рекуррентный, докажем его по индукции.
Для N=3, восстановление очевидно.
Скажем сперва, что достаточно очевидно, что те числа от 1 до N, которых нет в bi, являются висячими вершинами изначального дерева T. Тогда возьмем самое маленькое такое число А. Понятно, что в изначальном дереве Т оно соединено ребром с вершиной b1. Проведем такое ребро. Теперь рассмотрим весь наш граф без вершины А и ребра (A, b1). Далее по индукции. Заметим, что минимальную вершину следует выбирать из тех, которые подходят по описанному условию и еще не были выбраны.Таким образом, мы установили, что каждая такая последовательность однозначно задает дерево. Количество таких последовательностей равно N^(N-2), что очевидно.
Теорема доказана.

Источник

Лекция № 14. Деревья

1. Основные определения

Дерево – связный граф без циклов. Лес (или ациклический граф) – неограф без циклов. Компонентами леса являются деревья. Теорема 14.1.Для неографаGсnвершинами без петель следующие условия эквивалентны:

1. G– дерево;
2. G– связной граф, содержащийn– 1 ребро;
3. G– ациклический граф, содержащийn– 1 ребро;
4. Любые две несовпадающие вершины графаGсоединяет единственная цепь;
5. G– ациклический граф, такой, что если в него добавить одно ребро, то в нем появится ровно один цикл.

Теорема 14.2.НеографGявляется лесом тогда и только тогда, когда коранг графаv(G)=0. Висячая вершина в дереве – вершина степени 1. Висячие вершины называются листьями, все остальные – внутреннимивершинами. Если в дереве особо выделена одна вершина, называемая корнем, то такое дерево называется корневым, иначе – свободным. Корневое дерево можно считать орграфом с ориентацией дуг из корня или в корень. Очевидно, что для любой вершины корневого дерева, кроме корня, . Для корня, для листьев. Вершины дерева, удаленные на расстояние k (в числе дуг) от корня, образуют k-й ярус (уровень) дерева. Наибольшее значение k называется высотой дерева. Если из какой-либо вершины корневого дерева выходят дуги, то вершины на концах этих дуг называют сыновьями (в английской литературе – дочери (daughter)).

1. Центроид дерева

Ветвь к вершине v дерева – это максимальный подграф, содержащий v в качестве висячей вершины. Вес вершиныk – наибольший размер ее ветвей. Центроид (или центр масс) дерева C – множество вершин с наименьшим весом: C = v| c(v) = >. Вес любого листа дерева равен размеру дерева. Высота дерева с корнем, расположенным в центроиде, не больше наименьшего веса его вершин. Свободное дерево порядка n с двумя центроидами имеет четное количество вершин, а вес каждого центроида равен n/2. Теорема 14.3 (Жордана).Каждое дерево имеет центроид, состоящий из одной или двух смежных вершин.Пример 14.1. Найти наименьший вес вершин дерева, изображенного на рис. 14.1, и его центроид. Рис. 14.1 Решение. Очевидно, что вес каждой висячей вершины дерева порядка n равен n – 1. Висячие вершины не могут составить центроид дерева, поэтому исключим из рассмотрения вершины 1, 2, 4, 6, 12, 13 и 16. Для всех остальных вершин найдем их вес, вычисляя длину (размер) их ветвей. Число ветвей вершины равно ее степени. Вершины 3, 5 и 8 имеют по две ветви, размеры которых равны 1 и 14. К вершине 7 подходят четыре ветви размером 1, 2, 2 и 10. Таким образом, ее вес . Аналогично вычисляются веса других вершин:,,. Минимальный вес вершин равен 8, следовательно, центроид дерева образуют две вершины с таким весом: 11 и 15.

1. Десятичная кодировка

Деревья представляют собой важный вид графов. С помощью деревьев описываются базы данных, деревья моделируют алгоритмы и программы, их используют в электротехнике, химии. Одной из актуальных задач в эпоху компьютерных и телекоммуникационных сетей является задача сжатия информации. Сюда входит и кодировка деревьев. Компактная запись дерева, полностью описывающая его структуру, может существенно упростить как передачу информации о дереве, так и работу с ним. Существует множество способов кодировки деревьев. Рассмотрим одну из простейших кодировок помеченных деревьев с выделенным корнем – десятичную. Кодируя дерево, придерживаемся следующих правил.

1. Кодировка начинается с корня и заканчивается в корне.
2. Каждый шаг на одну дугу от корня кодируется единицей.
3. В узле выбираем направление на вершину с меньшим номером.
4. Достигнув листа, идем назад, кодируя каждый шаг нулем.
5. При движении назад в узле всегда выбираем направление на непройденную вершину с меньшим номером.

Кодировка в такой форме получается достаточно компактной, однако она не несет в себе информации о номерах вершин дерева. Существуют аналогичные кодировки, где вместо единиц в таком же порядке проставляются номера или названия вершин. Есть деревья, для которых несложно вывести формулу десятичной кодировки. Рассмотрим, например, графы-звезды , являющиеся полными двудольными графами, одна из долей которых состоит из одной вершины. Другое обозначение звезд –. На рис. 14.2 показаны звезды, а также приведены их двоичные и десятичные кодировки. Корень дерева располагается в центральной вершине звезды. Легко получить общую формулу: . (14.1) Рис. 14.2 Если корень поместить в любой из висячих вершин, то код такого дерева будет выражаться большим числом. Более того, существует зависимость. Аналогично рассматриваются и цепи (рис. 14.3). Цепи обозначаются как. Рис. 14.3 В звездах только два варианта расположения корня с различными десятичными кодировками. В цепи же число вариантов кодировок в зависимости от положения корня растет с увеличением n. Рассмотрим самый простой вариант, расположив корень в концевой вершине (листе). Для получим двоичную кодировку 10 и десятичную 2, для– 1100 и 12, для– 111000 и 56, для– 11110000 и 240. Общая формула для десятичной кодировки цепи с корнем в концевой вершине имеет вид . (14.2) Пример 14.2. Записать десятичный код дерева, изображенного на рис. 14.4, с корнем в вершине 3. Рис. 14.4 Решение. На основании правила кодировки, двигаясь по дереву, проставим в код единицы и нули. При движении из корня 3 к вершине 7 проходим четыре ребра. В код записываем четыре единицы: 1111. Возвращаясь от вершины 7 к вершине 2 (до ближайшей развилки), проходим три ребра. Записываем в код три нуля: 000. От вершины 2 к 5 и далее к 8 (меньший номер): 11; от 8 назад к 5 и от 5 к 9: 01; от 9 к корню 3: 000. И, наконец, от 3 к 6 и обратно: 10. В итоге, собирая все вместе, получим двоичный код дерева: 1 111 000 110 100 010. Разбивая число на тройки, переводим полученное двоичное представление в восьмеричное. Получаем . Затем переводим это число в десятичное:.

Для продолжения скачивания необходимо пройти капчу:

Источник

3. Деревья. Остовные деревья. (3. Деревья. Остовные деревья)

PDF-файл из архива «3. Деревья. Остовные деревья», который расположен в категории » «. Всё это находится в предмете «графы и их применения» из 9 семестр (1 семестр магистратуры), которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст из PDF

Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!

Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.

Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.

Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!

Нет! Мы не выполняем работы на заказ, однако Вы можете попросить что-то выложить в наших социальных сетях.

Отзывы студентов

Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.

Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.

Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.

Отличный сайт
Лично меня всё устраивает — и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.

Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.

Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.

Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.

Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.

Отзыв о системе «Студизба»
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.

Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.

Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.

Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.

Источник