Теория графов — Деревья
Деревья — это графы, не содержащие ни одного цикла. Они представляют собой иерархическую структуру в графической форме. Деревья относятся к простейшему классу графов. Несмотря на свою простоту, они имеют богатую структуру.
Деревья предоставляют ряд полезных приложений, от простых, например, генеалогическое древо, до сложных, как деревья в структурах данных в информатике.
Дерево
А connected acyclic graphназывается деревом. Другими словами, связный граф без циклов называется деревом.
Края дерева известны как branches. Элементы деревьев называются их узлами. Узлы без дочерних узлов называютсяleaf nodes.
Дерево с n вершинами имеет n-1 ребер. Если у него на одно ребро больше, чем ‘n-1’, тогда это дополнительное ребро, очевидно, должно соединиться с двумя вершинами, что приведет к образованию цикла. Затем он становится циклическим графом, что является нарушением для древовидного графа.
Показанный здесь граф представляет собой дерево, потому что у него нет циклов и он связан. Он имеет четыре вершины и три ребра, т. Е. Для «n» вершин «n-1» ребер, как указано в определении.
Note — Каждое дерево имеет не менее двух вершин первой степени.
В приведенном выше примере вершины «a» и «d» имеют степень один. А две другие вершины «b» и «c» имеют степень два. Это возможно, потому что для того, чтобы цикл не образовывался, в любом месте графа должно быть как минимум два одиночных ребра. Это не что иное, как два ребра со степенью один.
лес
А disconnected acyclic graphназывается лесом. Другими словами, непересекающийся набор деревьев называется лесом.
Следующий график выглядит как два подграфика; но это единый несвязный граф. На этом графике нет циклов. Следовательно, ясно, что это лес.
Spanning Trees
Пусть G — связный граф, тогда подграф H графа G называется остовным деревом графа G, если —
Остовное дерево T неориентированного графа G — это подграф, который включает в себя все вершины графа G.
В приведенном выше примере G — связный граф, а H — подграф G.
Ясно, что в графе H нет циклов, это дерево с шестью ребрами, которое на единицу меньше, чем общее количество вершин. Следовательно, H является остовным деревом группы G.
Рейтинг цепи
Пусть G — связный граф с n вершинами и m ребрами. Остовное дерево T группы G содержит (n-1) ребер.
Следовательно, количество ребер, которое вам нужно удалить из ‘G’, чтобы получить остовное дерево, = m- (n-1), которое называется рангом схемы G.
Эта формула верна, потому что в остовном дереве должно быть n-1 ребер. Из m ребер нужно оставить n – 1 ребер в графе.
Следовательно, удаление «n – 1» ребер из «m» дает ребра, которые нужно удалить из графа, чтобы получить остовное дерево, которое не должно образовывать цикл.
Взгляните на следующий график —
Для графа, приведенного в приведенном выше примере, у вас m = 7 ребер и n = 5 вершин.
Пусть ‘G’ — связный граф с шестью вершинами и степенью каждой вершины три. Найдите ранг цепи «G».
По теореме о сумме степеней вершин
n Σ i=1deg (V i ) = 2 | E |
Теорема Кирхгофа
Теорема Кирхгофа полезна для определения количества остовных деревьев, которые могут быть образованы из связного графа.
Матрица «A» должна быть заполнена так, как если есть ребро между двумя вершинами, то оно должно быть указано как «1», иначе «0».
$$ A = \ begin 0 & a & b & c & d \\ a & 0 & 1 & 1 & 1 \\ b & 1 & 0 & 0 & 1 \\ c & 1 & 0 & 0 & 1 \\ d & 1 & 1 & 1 & 0 \ end = \ begin 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \ end $$
Используя теорему Кирхгофа, ее следует изменить, заменив основные диагональные значения степенью вершин, а все остальные элементы — на -1.
$$ = \ begin 3 & -1 & -1 & -1 \\ — 1 & 2 & 0 & -1 \\ — 1 & 0 & 2 & -1 \\ — 1 & -1 & -1 & 3 \ end = M $$ $$ M = \ begin 3 & -1 & -1 & -1 \\ — 1 & 2 & 0 & -1 \\ — 1 & 0 & 2 & -1 \\ — 1 & -1 & -1 & 3 \ end = 8 $$ $$ Co \: \: factor \: \: of \: \: m1 \: \: = \ begin 2 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \\ — 1 & -1 & 3 \ end $$
Таким образом, количество остовных деревьев = 8.
Japanese Spanish German French Thai Portuguese Russian Vietnamese Italian Korean Turkish Indonesian Polish Hindi
Учебник по теории графов
- Учебник по теории графов
- Теория графов — Введение
- Теория графов — основы
- Теория графов — основные свойства
- Теория графов — Типы графов
- Теория графов — Деревья
- Теория графов — Связность
- Теория графов — покрытия
- Теория графов — сопоставления
- Теория графов — Независимые множества
- Теория графов — Раскраска
- Теория графов — изоморфизм
- Теория графов — проходимость
- Теория графов — Примеры
Источник
Теория графов. Термины и определения в картинках
В этой статье мы познакомимся с основными терминами и определениями Теории графов. Каждый термин схематично показан на картинках.
Самый объёмный модуль на курсе «Алгоритмы и структуры данных» посвящён теории графов.
Граф — это топологичекая модель, которая состоит из множества вершин и множества соединяющих их рёбер. При этом значение имеет только сам факт, какая вершина с какой соединена.
Например, граф на рисунке состоит из 8 вершин и 8 рёбер.
Очень многие задачи могут быть решены используя богатую библиотеку алгоритмов теории графов. Для этого достаточно лишь принять объекты за вершины, а связь между ними — за рёбра, после чего весь арсенал алгоритмов теории графов к вашим услугам: нахождение маршрута от одного объекта к другому, поиск связанных компонент, вычисление кратчайших путей, поиск сети максимального потока и многое другое.
В этой статье мы познакомимся с основными терминами и определениями теории графов. На курсе “Алгоритмы и Структуры данных” в компании Отус “Теория графов” изучается в самом объёмном модуле из 6 вебинаров, где мы изучаем десяток самых популярных алгоритмов.
Вершина — точка в графе, отдельный объект, для топологической модели графа не имеет значения координата вершины, её расположение, цвет, вкус, размер; однако при решении некоторых задачах вершины могут раскрашиваться в разные цвета или сохранять числовые значения.
Ребро — неупорядоченная пара двух вершин, которые связаны друг с другом. Эти вершины называются концевыми точками или концами ребра. При этом важен сам факт наличия связи, каким именно образом осуществляется эта связь и по какой дороге — не имеет значения; однако рёбра может быть присвоен “вес”, что позволит говорить о “нагруженном графе” и решать задачи оптимизации.
Инцидентность — вершина и ребро называются инцидентными, если вершина является для этого ребра концевой. Обратите внимание, что термин “инцидентность” применим только к вершине и ребру.
Смежность вершин — две вершины называются смежными, если они инцидентны одному ребру.
Смежность рёбер — два ребра называются смежными, если они инцедентны одной вершине.
Говоря проще — две вершины смежные, если они соединены ребром, два ребра смежные — если они соединены вершиной.
Петля — ребро, инцидентное одной вершине. Ребро, которое замыкается на одной вершине.
Псевдограф — граф с петлями. С такими графами не очень удобно работать, потому что переходя по петле мы остаёмся в той же самой вершине, поэтому у него есть своё название.
Кратные рёбра — рёбра, имеющие одинаковые концевые вершины, по другому их называют ещё параллельными.
Мультиграф — граф с кратными рёбрами.
Псевдомультиграф — граф с петлями и кратными рёбрами.
Степень вершины — это количество рёбер, инцидентных указанной вершине. По-другому — количество рёбер, исходящих из вершины. Петля увеливает степень вершины на 2.
Изолированная вершина — вершина с нулевой степенью.
Висячая вершина — вершина со степенью 1.
Подграф. Если в исходном графе выделить несколько вершин и несколько рёбер (между выбранными вершинами), то мы получим подграф исходного графа.
Идея подграфов используется во многих алгоритмах, например, сначала создаётся подграф их всех вершин без рёбер, а потом дополняется выбранными рёбрами.
Полный граф — это граф, в котором каждые две вершины соединены одним ребром.
Сколько рёбер в полном графе? Это известная задача о рукопожатиях: собралось N человек (вершин) и каждый с каждым обменялся рукопожатием (ребро), сколько всего было рукопожатий? Вычисляется как сумма чисел от 1 до N — каждый новый участник должен пожать руку всем присутствующим, вычисляется по формуле: N * (N — 1) / 2.
Регулярный граф — граф, в котором степени всех вершин одинаковые.
Двудольный граф — если все вершины графа можно разделить на два множества таким образом, что каждое ребро соединяет вершины из разных множеств, то такой граф называется двудольным. Например, клиент-серверное приложение содержит множество запросов (рёбер) между клиентом и сервером, но нет запросов внутри клиента или внутри сервера.
Планарный граф. Если граф можно разместить на плоскости таким образом, чтобы рёбра не пересекались, то он называется “планарным графом” или “плоским графом”.
Если это невозможно сделать, то граф называется “непланарным”.
Минимальные непланарные графы — это полный граф К5 из 5 вершин и полный двудольный граф К3,3 из 3+3 вершин (известная задача о 3 соседях и 3 колодцах). Если какой-либо граф в качестве подграфа содержит К5 или К3,3, то он является непланарным.
Путь или Маршрут — это последовательность смежных рёбер. Обычно путь задаётся перечислением вершин, по которым он пролегает.
Длина пути — количество рёбер в пути.
Цепь — маршрут без повторяющихся рёбер.
Простая цепь — цепь без повторяющихся вершин.
Цикл или Контур — цепь, в котором последняя вершина совпадает с первой.
Длина цикла — количество рёбер в цикле.
Самый короткий цикл — это петля.
Цикл Эйлера — цикл, проходящий по каждому ребру ровно один раз. Эйлер доказал, что такой цикл существует тогда, и только тогда, когда все вершины в связанном графе имеют чётную степень.
Цикл Гамильтона — цикл, проходящий через все вершины графа по одному разу. Другими словами — это простой цикл, в который входят все вершины графа.
Взвешенный граф — граф, в котором у каждого ребра и/или каждой вершины есть “вес” — некоторое число, которое может обозначать длину пути, его стоимость и т. п. Для взвешенного графа составляются различные алгоритмы оптимизации, например поиск кратчайшего пути.
Пока ещё не придуман алгоритм, который за полиномиальное время нашёл бы кратчайший цикл Гамильтона в полном нагруженном графе, однако есть несколько приближённых алгоритмов, которые за приемлимое время находят если не кратчайший, то очень короткий цикл, эти алгоритмы мы также рассматриваем на курсе Отуса — “Алгоритмы и структуры данных”.
Связный граф — граф, в котором существует путь между любыми двумия вершинами.
Дерево — связный граф без циклов.
Между любыми двумя вершинами дерева существует единственный путь.
Деревья часто используются для организации иерархической структуры данных, например, при создании двоичных деревьев поиска или кучи, в этом случае одну вершину дерева называют корнем.
Лес — граф, в котором несколько деревьев.
Ориентированный граф или Орграф — граф, в котором рёбра имеют направления.
Дуга — направленные рёбра в ориентированном графе.
Полустепень захода вершины — количество дуг, заходящих в эту вершину.
Исток — вершина с нулевой полустепенью захода.
Полустепень исхода вершины — количество дуг, исходящих из этой вершины
Сток — вершина с нулевой полустепенью исхода.
Компонента связности — множество таких вершин графа, что между любыми двумя вершинами существует маршрут.
Компонента сильной связности — максимальное множество вершин орграфа, между любыми двумя вершинами которого существует путь по дугам.
Компонента слабой связности — максимальное множество вершин орграфа, между любыми двумя вершинами которого существует путь по дугам без учёта направления (по дугам можно двигаться в любом направлении).
Мост — ребро, при удалении которого, количество связанных компонент графа увеличивается.
Это только основные термины и определения теории графов, которые мы рассматриваем на первом вебинаре модуля “Теория графов”. Цель статьи — дать наглядное и понятное представление об этих терминах, для чего и были нарисованы эти картинки.
Источник