Дерево графа электрической цепи

Топологический граф электрических цепей

Графом электрической цепи называется условное изображение электрической цепи, в котором каждая ветвь цепи заменяется отрезком линии. При этом идеальный источник напряжения учитывается как короткозамкнутая ветвь, а идеальный источник тока — как разомкнутая ветвь.

Ветвью графа называется отрезок линии, соответствующий ветви электрической схемы.

Узлом графа называется точка соединения трех и более ветвей.

Граф, ветвям которого заданы определенные направления, указанные стрелкой, называется направленным. Направления ветвей графа, которые указывают стрелками, совпадают с положительными направлениями токов, протекающих по соответствующим ветвям цепи. Граф, у которого не указаны направления ветвей, называется ненаправленным.

Граф строится в соответствии с эквивалентной схемой цепи путем замены каждой её ветви отрезком линии, которая рассматривается как ветвь графа. При этом каждый узел цепи преобразуется в узел графа. Нумерация ветвей и узлов графа такая же, что нумерация ветвей и узлов цепи.

Деревом графа называется его часть, содержащая все узлы, но не содержащая ни одного контура. Ветви графа, образующие дерево, называются ветвями дерева. Число ветвей дерева определяется по формуле , где — число узлов графа. В качестве ветвей дерева запрещается выбирать ветви, содержащие источник тока.

Главными ветвями графа называются ветви, не вошедшие в дерево. Число главных ветвей определяется по формуле , где — число ветвей графа.

Главными контурами графа называются контура, образованные путем последовательного добавлением к дереву графа его главных ветвей. Число главных контуров равно числу главных ветвей .

На рис. 3.4, а изображена схема электрической цепи, а на рис. 3.4, б её направленный граф. В качестве дерева выбраны ветви 2 и 4. Ветви 1, 3, 5 являются главными ветвями графа, которые совместно с ветвями дерева образуют три главных (независимых) контура I, II и III.

Таким образом, граф можно рассматривать как упрощенную модель электрической цепи, отражающую ее структуру.

Дата добавления: 2017-09-01 ; просмотров: 4182 ;

Источник

Графы схем электрических цепей.

Рис. 1. а-схема электрической цепи, б – связный граф, в – дерево графа.

Замкнутый путь, у которого начальные и конечные узлы совпадают называются контуром.

Либо замкнутый ток, проходящий через некоторое количество ветвей (части графа) называется контуром. Связный граф – это граф между любыми двумя узлами которого существует, по крайне мере, один путь. Деревом связного графа называется связный подграф, включающий все узлы графа, но не содержащий ни одного контура. На каждом графе цепи можно найти несколько деревьев. Ветви графа, вошедшие в дерево, называются ветвями дерева. Ветви не вошедшие – связями (главные ветви, хорды). Сумма ветвей и связей равно общему числу ветвей. Каждое из деревьев графа, содержащего р ветвей и q узлов, имеет m=q-1ветвей дерева и n=p-q+1 главных ветвей (связей). Добавление к дереву графа любой связи образует контур. Сечением связного графа называется минимальная совокупность ветвей графа, при удаления которых граф распадается на две изолированные части, одна из которых может быть узлом. Главным сечением графа называется сечение, в которое входит только одна ветвь выбранного дерева. Остальные ветви, входящие в главное сечение, являются связями. Число главных сечений равно числу ветвей дерева: m = q – 1.

Определение числа независимых узлов и контуров

Чтобы получить независимые уравнения достаточно, чтобы каждое уравнение отличалось от остальных хотя бы одной переменной. Так, для линейной независимости уравнений, составленной на основании 1-го закона Киргофа, достаточно, чтобы каждое уравнение баланса токов отличалось от других уравнений хотя бы одним током или, что то же самое, одной ветвью. Каждому дереву графа можно поставить в соответствие m = q – 1 главных сечений и, следовательно, m = q – 1 линейно независимых уравнений баланса токов.

Для линейной независимости уравнений, составленной на основе 2-го закона Киргофа, достаточно, чтобы каждое из этих уравнений отличалось от остальных хотя бы одним напряжением. Следовательно, каждый контур должен отличаться от остальных хотя бы одной ветвью. Этому требованию удовлетворяет система главных контуров, которые отличаются от других хотя бы одной связью: n = p – q + 1, число независимых контуров равно числу связей. Таким образом, общее число независимых уравнений оказывается равным числу ветвей цепи: m + n = (q – 1) + (p – q + 1) = p.

Для схемы, показанной на рис. 1, можно составить 9 независимых уравнений. В этой цепи 9 ветвей (9 токов) и 7 узлов, поэтому по закону Киргофа для токов можно составить 6 независимых уравнений для токов m = q – 1 = 7 – 1 = 6 уравнений:

По второму закону Кирхгофа можно составить три независимых уравнений для контуров

Свойство уравнений, полученных на основе законов Кирхгофа, можно показать на примере последовательного и параллельного соединений элементов R, L, C.

Рис2.а) Последовательное соединение источника и элементов RLC, б) Параллельное соединение источника и элемента RLC.

На первом рисунке соединение элементов образует один замкнутый контур, поэтому по закону Кирхгофа для напряжений:

Т.к. через все элементы протекает один и тот же ток, то интегро-дифференциальное

Т.е. полученное уравнение содержит одну переменную величину — ток в контуре.

Параллельное соединение источника и элементов (второй рисунок) образует цепь с двумя узлами, поэтому по закону Кирхгофа для токов:

Т.к. на всех элементах цепи падает одно и тоже напряжение, то

т.е. получено интегро-дифференциальное уравнение относительно U.

Для более сложных цепей получаются системы интегро-дифференциальных уравнений.

Расчет сложных (разветвленных) схем проводят на основе законов Кирхгофа, с помощью которых можно рассчитать любую электрическую схему. Однако часто их непосредственное применение приводит к составлению слишком большого числа линейных уравнений, а значить, и большему объему вычислений. Чтобы хотя бы частично обойти эти трудности, были разработаны методы, упрощающие эти расчеты. Упрощение достигается двумя способами: 1) введением дополнительных расчетных величин, позволяющих уменьшить число уравнений, 2) предварительным преобразованием анализируемой схемы. К методам первой группы относится метод контурных токов и метод узловых потенциалов, к методам второй группы – метод наложения (суперпозиции), метод эквивалентного источника, метод взаимности, преобразования треугольника в звезду, звезды в треугольник и др. При выборе метода расчета разветвлений схемы в каждом конкретном случае исходят из постановки задачи, причем выбирают тот метод, который позволяет провести расчет быстрее, проще и нагляднее. Коротко охарактеризуем два метода: метод контурных токов и метод наложения.

Метод контурных токов основан на втором законе Кирхгофа. Согласно этому методу расчет проводят в два этапа. На первом вводится понятие некоторых так называемых контурных токов. В отличие от токов в ветвях под контурным понимают ток в выделенном контуре. На втором этапе определяют токи в ветвях, которые представляют собой алгебраическую сумму токов, протекающих в контурах, в состав которых входит данная ветвь. Важно, что выделенные в схеме контуры независимы, то есть каждый из них содержит ветвь, ранее не входившую ни в один предшествующий в процессе выбора контур.

Для нахождения контурных токов составляют и решают систему линейных уравнений контурных токов. Число уравнений такой системы равно числу независимых контуров схемы; оно всегда меньше числа ветвей. Следовательно, и число уравнений в случае метода контурных токов всегда меньше числа уравнений в случае непосредственного применения законов Кирхгофа.

Пусть нужно рассчитать токи в схеме, приведенной на рис. 3. Сначала выберем независимые контуры и установим положительные направления контурных токов в каждом из них по направлению часовой стрелки. Пользуясь вторым законом Кирхгофа, составим уравнение для каждого контура:

В результате получим систему трех уравнений (в случае непосредственного применения законов Кирхгофа их было бы пять). Решив ее, получим значения контурных токовi₁, i₁₁, i₁₁₁, что позволить найти токи в отдельных ветвях схемы:

Особенно удобно применять метод контурных токов для расчета схем с источником тока. Например, в случае схемы рис.4 в качестве первого контура целесообразно выбрать источник ЭДС, резистивные элементы R₂ и R₃, а в качестве второго – источник тока и R₁, R₂. В этом случае ток второго контура оказывается заданным (i₁=J) и для определения токов во всех ветвях нужно рассчитать только один контурный ток i₁₁, то есть составить всего одно уравнение.

из которого определяется ток i₁₁, а затем и токи во всех ветвях:

Рис.3. К расчету резистивной схемы Рис.4. К расчету резистивной

методом контурных токов. схемы с источником тока.

В цепи , приведенной на _рис. 5., могут быть три независимых контурных тока I_k1, I_k2 и I_k3 , протекающие в контурах 1, 2, 3, обозначенных стрелками. Токи в элементах этой цепи связаны с контурными токами следующими зависимостями:

Подставив эти токи в формулу, составленные по закону Кирхгофа для напряжений, после группировки получим систему уравнений:

В этой системе три неизвестных контурных тока и, следовательно, система может быть решена. После нахождения контурных токов токи в элементах рассчитывают по формулам (5.1).

Четырехполюсники, основные определения.

Большинство радиоэлектронных устройств (например, усилители, преобразователи и другие устройства) предназначены для передачи электрических сигналов. Характерной особенностью таких устройств, рассматриваемых с точки зрения теории цепей, является наличие двух пар зажимов, с помощью которых они могут быть соединены с внешними цепями. Поэтому четырехполюсником будем считать электронную цепь с двумя парами зажимов, включаемую таким образом, что через каждую пару зажимов протекают попарно равные и противоположно направленные токи:

Уравнения четырехполюсника устанавливают взаимную связь между токами и напряжениями во внешних контурах U₁, I₁ и U₂ , I₂. Если предположить, что две из перечисленных величин представляют воздействия (аргументы), то остальные две – реакцияю (функции) четырехполюсника. Возможные варианты воздействий, реакций и их взаимная связь представлены ниже:

Источник

Дерево графа (электрической цепи)

любая совокупность ветвей графа электрической цепи, соединяющих все узлы графа без образования контуров.

Научные статьи на тему «Дерево графа (электрической цепи)»

Методы расчета электрических цепей

токов в электрической цепи.
Любая электрическая цепь содержит: приемники электроэнергии; источники электроэнергии.
Для этого используется топологический граф схемы цепи.
Анализ топологического графа принято начинать с выделения ветвей дерева графа ($N_Д$) и ветвей связи.
Иные методы расчета Также используют другие методы расчета электрических цепей.

Об одном подходе к моделированию сложных систем

Предложена корректная постановка задачи моделирования линейных электрических цепей, которые описываются системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Показано, что корректность постановки зависит от выбора переменных СЛАУ на этапе составления уравнений, а не от обусловленности СЛАУ. Предложено применять напряжения компонент ветвей дерева графа цепи в качестве переменных СЛАУ, корректный выбор которых выполняется при составлении топологической матрицы контуров графа и зависит от параметров компонент цепи. Корректная постановка задачи моделирования сложных объектов возможна, если существует электротехническая аналогия

Об одном подходе к моделированию нелинейных электрических цепей по частям

Предложено формализованную методику построения эквивалентной схемы нелинейной подсхемы и метод составления математической модели (ММ) нелинейной электрической цепи (НЭЦ), основанный на применении подсхем, учитывающий требования корректной формулировки задачи. Учет требований выполняется как на этапе составления ММ НЭЦ, так и в процессе решения полученной модели путем целенаправленного выбора переменных напряжений компонент ветвей деревьев, покрывающих графы подсхем и НЭЦ, в которой подсхемы заменены эквивалентными схемами. Корректный выбор переменных выполняется при составлении топологических матриц контуров графов подсхем, НЭЦ и зависит от параметров компонент подсхем и НЭЦ

Источник