Дерево хаффмана построение дерева

Алгоритмы сжатия данных

Рассмотрим реализацию алгоритма Хаффмана с использованием кодовых деревьев.

Кодовое дерево (дерево кодирования Хаффмана, Н-дерево) – это бинарное дерево , у которого:

• листья помечены символами, для которых разрабатывается кодировка;
• узлы (в том числе корень) помечены суммой вероятностей появления всех символов, соответствующих листьям поддерева , корнем которого является соответствующий узел.

Метод Хаффмана на входе получает таблицу частот встречаемости символов в исходном тексте. Далее на основании этой таблицы строится дерево кодирования Хаффмана.

Алгоритм построения дерева Хаффмана.

Шаг 1. Символы входного алфавита образуют список свободных узлов. Каждый лист имеет вес , который может быть равен либо вероятности, либо количеству вхождений символа в сжимаемый текст.

Шаг 2. Выбираются два свободных узла дерева с наименьшими весами.

Шаг 3. Создается их родитель с весом, равным их суммарному весу.

Шаг 4. Родитель добавляется в список свободных узлов, а двое его детей удаляются из этого списка.

Шаг 5. Одной дуге , выходящей из родителя, ставится в соответствие бит 1, другой – бит 0.

Шаг 6. Повторяем шаги, начиная со второго, до тех пор, пока в списке свободных узлов не останется только один свободный узел. Он и будет считаться корнем дерева .

Существует два подхода к построению кодового дерева: от корня к листьям и от листьев к корню.

Пример построения кодового дерева. Пусть задана исходная последовательность символов:

Ее исходный объем равен 20 байт (160 бит ). В соответствии с приведенными на рис. 41.1 данными ( таблица вероятности появления символов, кодовое дерево и таблица оптимальных префиксных кодов ) закодированная исходная последовательность символов будет выглядеть следующим образом:

110111010000000011111111111111001010101010.

Следовательно, ее объем будет равен 42 бита. Коэффициент сжатия приближенно равен 3,8.

Классический алгоритм Хаффмана имеет один существенный недостаток. Для восстановления содержимого сжатого текста при декодировании необходимо знать таблицу частот, которую использовали при кодировании. Следовательно, длина сжатого текста увеличивается на длину таблицы частот, которая должна посылаться впереди данных, что может свести на нет все усилия по сжатию данных. Кроме того, необходимость наличия полной частотной статистики перед началом собственно кодирования требует двух проходов по тексту: одного для построения модели текста (таблицы частот и дерева Хаффмана), другого для собственно кодирования.

Пример 2. Программная реализация алгоритма Хаффмана с помощью кодового дерева.

#include "stdafx.h" #include using namespace std; struct sym < unsigned char ch; float freq; char code[255]; sym *left; sym *right; >; void Statistics(char *String); sym *makeTree(sym *psym[],int k); void makeCodes(sym *root); void CodeHuffman(char *String,char *BinaryCode, sym *root); void DecodeHuffman(char *BinaryCode,char *ReducedString, sym *root); int chh;//переменная для подсчета информация из строки int k=0; //счётчик количества различных букв, уникальных символов int kk=0;//счетчик количества всех знаков в файле int kolvo[256]=; //инициализируем массив количества уникальных символов sym simbols[256]=;//инициализируем массив записей sym *psym[256];//инициализируем массив указателей на записи float summir=0;//сумма частот встречаемости int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])< char *String = new char[1000]; char *BinaryCode = new char[1000]; char *ReducedString = new char[1000]; String[0] = BinaryCode[0] = ReducedString[0] = 0; cout > String; sym *symbols = new sym[k]; //создание динамического массива структур simbols sym **psum = new sym*[k]; //создание динамического массива указателей на simbols Statistics(String); sym *root = makeTree(psym,k); //вызов функции создания дерева Хаффмана makeCodes(root);//вызов функции получения кода CodeHuffman(String,BinaryCode,root); cout //рeкурсивная функция создания дерева Хаффмана sym *makeTree(sym *psym[],int k) < int i, j; sym *temp; temp = new sym; temp->freq = psym[k-1]->freq+psym[k-2]->freq; temp->code[0] = 0; temp->left = psym[k-1]; temp->right = psym[k-2]; if ( k == 2 ) return temp; else < //внесение в нужное место массива элемента дерева Хаффмана for ( i = 0; i < k; i++) if ( temp->freq > psym[i]->freq ) < for( j = k - 1; j >i; j--) psym[j] = psym[j-1]; psym[i] = temp; break; > > return makeTree(psym,k-1); > //рекурсивная функция кодирования дерева void makeCodes(sym *root) < if ( root->left ) < strcpy(root->left->code,root->code); strcat(root->left->code,"0"); makeCodes(root->left); > if ( root->right ) < strcpy(root->right->code,root->code); strcat(root->right->code,"1"); makeCodes(root->right); > > /*функция подсчета количества каждого символа и его вероятности*/ void Statistics(char *String) < int i, j; //побайтно считываем строку и составляем таблицу встречаемости for ( i = 0; i < strlen(String); i++)< chh = String[i]; for ( j = 0; j < 256; j++)< if (chh==simbols[j].ch) < kolvo[j]++; kk++; break; >if (simbols[j].ch==0) < simbols[j].ch=(unsigned char)chh; kolvo[j]=1; k++; kk++; break; >> > // расчет частоты встречаемости for ( i = 0; i < k; i++) simbols[i].freq = (float)kolvo[i] / kk; // в массив указателей заносим адреса записей for ( i = 0; i < k; i++) psym[i] = &simbols[i]; //сортировка по убыванию sym tempp; for ( i = 1; i < k; i++) for ( j = 0; j < k - 1; j++) if ( simbols[j].freq < simbols[j+1].freq )< tempp = simbols[j]; simbols[j] = simbols[j+1]; simbols[j+1] = tempp; >for( i=0;ich,i); > printf("\n Slova = %d\tSummir=%f\n",kk,summir); > //функция кодирования строки void CodeHuffman(char *String,char *BinaryCode, sym *root) < for (int i = 0; i < strlen(String); i++)< chh = String[i]; for (int j = 0; j < k; j++) if ( chh == simbols[j].ch )< strcat(BinaryCode,simbols[j].code); >> > //функция декодирования строки void DecodeHuffman(char *BinaryCode,char *ReducedString, sym *root)< sym *Current;// указатель в дереве char CurrentBit;// значение текущего бита кода int BitNumber; int CurrentSimbol;// индекс распаковываемого символа bool FlagOfEnd; // флаг конца битовой последовательности FlagOfEnd = false; CurrentSimbol = 0; BitNumber = 0; Current = root; //пока не закончилась битовая последовательность while ( BitNumber != strlen(BinaryCode) ) < //пока не пришли в лист дерева while (Current->left != NULL && Current->right != NULL && BitNumber != strlen(BinaryCode) ) < //читаем значение очередного бита CurrentBit = BinaryCode[BitNumber++]; //бит – 0, то идем налево, бит – 1, то направо if ( CurrentBit == '0' ) Current = Current->left; else Current = Current->right; > //пришли в лист и формируем очередной символ ReducedString[CurrentSimbol++] = Current->ch; Current = root; > ReducedString[CurrentSimbol] = 0; >

Для осуществления декодирования необходимо иметь кодовое дерево , которое приходится хранить вместе со сжатыми данными. Это приводит к некоторому незначительному увеличению объема сжатых данных. Используются самые различные форматы, в которых хранят это дерево . Обратим внимание на то, что узлы кодового дерева являются пустыми. Иногда хранят не само дерево , а исходные данные для его формирования, то есть сведения о вероятностях появления символов или их количествах. При этом процесс декодирования предваряется построением нового кодового дерева, которое будет таким же, как и при кодировании.

Ключевые термины

Сжатие данных – это процесс, обеспечивающий уменьшение объема данных путем сокращения их избыточности.

Сжатие без потерь (полностью обратимое) – это метод сжатия данных, при котором ранее закодированная порция данных восстанавливается после их распаковки полностью без внесения изменений.

Сжатие с потерями – это метод сжатия данных, при котором для обеспечения максимальной степени сжатия исходного массива данных часть содержащихся в нем данных отбрасывается.

Алгоритм сжатия данных (алгоритм архивации) – это алгоритм , который устраняет избыточность записи данных.

Алфавит кода – это множество всех символов входного потока.

Кодовый символ – это наименьшая единица данных, подлежащая сжатию.

Кодовое слово – это последовательность кодовых символов из алфавита кода.

Токен – это единица данных, записываемая в сжатый поток некоторым алгоритмом сжатия.

Фраза – это фрагмент данных, помещаемый в словарь для дальнейшего использования в сжатии.

Кодирование – это процесс сжатия данных.

Декодирование – это обратный кодированию процесс, при котором осуществляется восстановление данных.

Отношение сжатия – это величина для обозначения эффективности метода сжатия, равная отношению размера выходного потока к размеру входного потока.

Коэффициент сжатия – это величина, обратная отношению сжатия.

Средняя длина кодового слова – это величина, которая вычисляется как взвешенная вероятностями сумма длин всех кодовых слов.

Статистические методы – это методы сжатия, присваивающие коды переменной длины символам входного потока, причем более короткие коды присваиваются символам или группам символам, имеющим большую вероятность появления во входном потоке.

Словарное сжатие – это методы сжатия, хранящие фрагменты данных в некоторой структуре данных, называемой словарем.

Хаффмановское кодирование (сжатие) – это метод сжатия, присваивающий символам алфавита коды переменной длины основываясь на вероятностях появления этих символов.

Префиксный код – это код, в котором никакое кодовое слово не является префиксом любого другого кодового слова.

Оптимальный префиксный код – это префиксный код , имеющий минимальную среднюю длину.

Кодовое дерево (дерево кодирования Хаффмана, Н-дерево) – это бинарное дерево , у которого: листья помечены символами, для которых разрабатывается кодировка ; узлы (в том числе корень) помечены суммой вероятностей появления всех символов, соответствующих листьям поддерева , корнем которого является соответствующий узел.

Краткие итоги

1. Сжатие данных является процессом, обеспечивающим уменьшение объема данных путем сокращения их избыточности.
2. Сжатие данных может происходить с потерями и без потерь.
3. Отношение сжатия характеризует степень сжатия данных.
4. Существуют два основных способа проведения сжатия: статистические методы и словарное сжатие.
5. Алгоритм Хаффмана относится к статистическим методам сжатия данных.
6. Идея алгоритма Хаффмана состоит в следующем: зная вероятности вхождения символов в исходный текст, можно описать процедуру построения кодов переменной длины, состоящих из целого количества битов.
7. Коды Хаффмана имеют уникальный префикс, что и позволяет однозначно их декодировать, несмотря на их переменную длину.
8. Алгоритм Хаффмана универсальный, его можно применять для сжатия данных любых типов, но он малоэффективен для файлов маленьких размеров.
9. Классический алгоритм Хаффмана на основе кодового дерева требует хранения кодового дерева, что увеличивает его трудоемкость.

Источник