Дерево обход снизу вверх

3.7. Обходы бинарных деревьев и леса

Многие алгоритмы работы с бинарными деревьями основаны на последовательной обработке узлов дерева. Если для линейного списка последовательность обработки элементов очевидна (в однонаправленных списках только в прямом, в двунаправленных — в прямом и обратном направлении), то в бинарном дереве имеется гораздо больше возможностей из-зи наличия ветвления. В связи с этим вводится понятие обхода дерева. При обходе дерева каждый узел посещается только один раз, при этом узлы выстраиваются в определённую линейную последовательность узлов, т.е. можно говорить о предыдущем и следующем узле.

Понятие обхода вводится для любых деревьев, однако удобнее начать с обхода бинарных деревьев ввиду простоты и универсальности.

Наиболее известны и практически важны 3 способа прохождения, которые отличаются порядком и направлением обхода бинарного дерева. К сожалению, в литературе встречается довольно много различных названий для данных обходов, что порождает некоторую путаницу. В таблице 3.4 приведены основные названия (верхняя строка) и алгоритмы рекурсивного прохождения узлов дерева для каждого способа (нижняя строка).

Рекурсивное прохождение бинарного дерева.

Postorder(постфиксный)

3. Пройти правое поддерево

3. Пройти правое поддерево

2. Пройти правое поддерево

Прямой порядок прохождения означает обход в направлении сверху-вниз, когда после посещения очередного разветвления продолжается прохождение вглубь дерева, пока не пройдены все потомки достигнутого узла. По этой причине прямой порядок прохождения часто называют нисходящим, или прохождением в глубину. Прямой порядок используется в представлении дерева в форме вложенных скобок (левое скобочное представление), в виде уступчатого списка или десятичной классификации Дьюи. В геналогических терминах прямой порядок прохождения дерева отражает династический порядок престолонаследования, когда титул передается старшему потомку.

При центрированном (симметричном) проядке дерево проходится слева направо. Такой порядок используется, например, при обходе бинарного дерева поиска, порождая упорядоченную последовательность значений. Подробнее об этом будет рассказано в главах, посвященных сортировке и поиску.

Если применяется концевой порядок прохождения, то получается обход дерева снизу-вверх, когда в момент посещения любого узла все его потомки уже пройдены, а корень дерева проходится последним. Из-за этой особенности обхода, концевой порядок называют восходящим, или обратным относительно прямого.

Иногда используется еще один способ обхода бинарного дерева  обход в горизонтальном порядке (в ширину). При таком способе узлы бинарного дерева проходятся слева направо, уровень за уровнем от корня вниз (поколение за поколением от старших к младшим).

Очередность обработки узлов

Источник

Обход двоичного дерева

Теги: Обход двоичного дерева, прямой обход, обратный обход, симметричный обход, поперечный обход, сортировка дерева, удаление дерева, стек, очередь, итеративный обход дерева, рекурсивный обход дерева, поиск в глубину, поиск в ширину, обход бесконечных деревьев.

Обход дерева в глубину

В отличие от линейных структур типа односвязного списка и массива, у которых есть каноничный, прямой способ обхода, деревья можно обходить несколькими способами, в зависимости от поставленной задачи. Начиная с корня, можно применять необходимое действия (именуемое в дальнейшем «визит») как к самому узлу, так и к его левой или правой ветви. Порядок, в котором операции применяются, и будет определять способ обхода.

Наиболее простыми и понятными являются рекурсивные алгоритмы. При сведении к итеративному алгоритму, так как дерево предполагает несколько путей обхода, часть узлов придётся «откладывать» для дальнейшей обработки, для чего будут использоваться стек или очередь.

Существует три основных способа обхода в глубину.

Прямой (pre-order)
Посетить корень
Обойти левое поддерево
Обойти правое поддерево

Рекурсивное решение полностью соответствует описанию алгоритма

void preOrderTravers(Node* root) < if (root) < printf("%d ", root->data); preOrderTravers(root->left); preOrderTravers(root->right); > > void inOrderTravers(Node* root) < if (root) < inOrderTravers(root->left); printf("%d ", root->data); inOrderTravers(root->right); > > void postOrderTravers(Node* root) < if (root) < postOrderTravers(root->left); postOrderTravers(root->right); printf("%d ", root->data); > >

Переделаем функции, чтобы они могли работать с узлами. Для этого понадобится передавать функцию, которая могла бы работать с узлом и получать дополнительные параметры. Эти параметры будут передаваться указателем типа void. Если нам понадобится передать параметры, всегда можно будет их передать указателем на структуру.

void preOrderTravers(Node* root, void (*visit)(Node*, void*), void *params) < if (root) < visit(root, params); preOrderTravers(root->left, visit, params); preOrderTravers(root->right, visit, params); > > void inOrderTravers(Node* root, void (*visit)(Node*, void*), void *params) < if (root) < inOrderTravers(root->left, visit, params); visit(root, params); inOrderTravers(root->right, visit, params); > > void postOrderTravers(Node* root, void (*visit)(Node*, void*), void *params) < if (root) < postOrderTravers(root->left, visit, params); postOrderTravers(root->right, visit, params); visit(root, params); > >

В качестве функции visit можно передавать, например, такую функцию

void printNode(Node *current, void *args) < printf("%d ", current->data); >

inOrderTravers(root, printNode, NULL);

Рассмотрим теперь результат каждого из обходов.

inOrderTraversal выводит сначала самый левый узел, потом средний, потом правый. Если слева находилось дерево, то алгоритм применяется к нему рекурсивно. Если мы обрабатываем двоичное дерево поиска, то самым левым будет самый маленький элемент, самым правым и самым последним при обработке будет самый большой элемент. Симметричный обход выведет дерево в отсортированном по возрастанию виде. Для того, чтобы отсортировать дерево в обратном порядке, нужно сначала обработать правую ветвь, то есть функция

void inOrderTraversRL(Node* root) < if (root) < inOrderTraversRL(root->right); printf("%d ", root->data); inOrderTraversRL(root->left); > >

выведет дерево в обратном порядке.

postOrderTraversal выводит узлы слева направо, снизу вверх. Это имеет ряд применений, сейчас рассмотрим только одно – удаление дерева. Обход дерева начинается снизу, с узлов, у которых нет родителей. Их можно безболезненно удалять, так как обращение root->left и root->right происходят до удаления объекта.

void deleteTree(Node **root) < if (*root) < deleteTree(&((*root)->left)); deleteTree(&((*root)->right)); free(*root); > >

Напомню, что если мы хотим изменить указатель, то нужно передавать указатель на указатель.

Итеративная реализация обхода в глубину требует использования стека. Он нужен для того, чтобы «откладывать» на потом обработку некоторых узлов (например тех, у кого есть необработанные наследники, или всех левых улов и т.д.).

Реализовывать стек будем с помощью массива, который при переполнении будет изменять свой размер. Напомню, что реализация стека требует двух функций — push, которая кладёт значение на вершину стека и pop, которая снимает значение с вершины стека и возвращает его. Кроме того, будем использовать функцию peek, которая возвращает значение с вершины, но не удаляет его.

#define STACK_INIT_SIZE 100 typedef struct Stack < size_t size; size_t limit; Node **data; >Stack; Stack* createStack() < Stack *tmp = (Stack*) malloc(sizeof(Stack)); tmp->limit = STACK_INIT_SIZE; tmp->size = 0; tmp->data = (Node**) malloc(tmp->limit * sizeof(Node*)); return tmp; > void freeStack(Stack **s) < free((*s)->data); free(*s); *s = NULL; > void push(Stack *s, Node *item) < if (s->size >= s->limit) < s->limit *= 2; s->data = (Node**) realloc(s->data, s->limit * sizeof(Node*)); > s->data[s->size++] = item; > Node* pop(Stack *s) < if (s->size == 0) < exit(7); >s->size--; return s->data[s->size]; > Node* peek(Stack *s) < return s->data[s->size-1]; >

После того, как у нас готова реализация стека, напишем обходы.

iterativePreorder(node) parentStack = empty stack while (not parentStack.isEmpty() or node ≠ null) if (node ≠ null) visit(node) parentStack.push(node) node = node.left else node = parentStack.pop() node = node.right

void iterPreorder(Node *root) < Stack *ps = createStack(); while (ps->size != 0 || root != NULL) < if (root != NULL) < printf("visited %d\n", root->data); if (root->right) < push(ps, root->right); > root = root->left; > else < root = pop(ps); >> freeStack(&ps); >

iterativeInorder(node) parentStack = empty stack while (not parentStack.isEmpty() or node ≠ null) if (node ≠ null) parentStack.push(node) node = node.left else node = parentStack.pop() visit(node) node = node.right

void iterInorder(Node *root) < Stack *ps = createStack(); while (ps->size != 0 || root != NULL) < if (root != NULL) < push(ps, root); root = root->left; > else < root = pop(ps); printf("visited %d\n", root->data); root = root->right; > > freeStack(&ps); >

iterativePostorder(node) parentStack = empty stack lastnodevisited = null while (not parentStack.isEmpty() or node ≠ null) if (node ≠ null) parentStack.push(node) node = node->left else peeknode = parentStack.peek() if (peeknode->right ≠ null and lastnodevisited ≠ peeknode->right) /* if traversing node from left child AND right child exists, move right */ node = peeknode->right else parentStack.pop() visit(peeknode) lastnodevisited = peeknode

void iterPostorder(Node *root) < Stack *ps = createStack(); Node *lnp = NULL; Node *peekn = NULL; while (!ps->size == 0 || root != NULL) < if (root) < push(ps, root); root = root->left; > else < peekn = peek(ps); if (peekn->right && lnp != peekn->right) < root = peekn->right; > else < pop(ps); printf("visited %d\n", peekn->data); lnp = peekn; > > > freeStack(&ps); >

Обход в ширину

О бход в ширину подразумевает, что сначала мы посещаем корень, затем, слева направо, все ветви первого уровня, затем все ветви второго уровня и т.д.

Пусть мы находимся в корне дерева. Далее необходимо посетить всех наследников корня. Таким образом, нужно засунуть в контейнер сначала узел, затем его наследников, при этом узел далее должен быть обработан первым. То есть, элемент, который вошёл первым должен быть обработан первым. Это очередь, и в этом примере мы будем использовать готовую реализацию очереди с помощью двусвязного списка.

breadthFirst(root) q = empty queue q.enqueue(root) while not q.empty do node := q.dequeue() visit(node) if node.left ≠ null then q.enqueue(node.left) if node.right ≠ null then q.enqueue(node.right)

void breadthFirst(Node* root) < DblLinkedList *q = createDblLinkedList(); //Для начала поместим в очередь корень pushBack(q, root); while (q->size != 0) < Node *tmp = (Node*) popFront(q); printf("%d ", tmp->data); //Если есть левый наследник, то помещаем его в очередь для дальнейшей обработки if (tmp->left) < pushBack(q, tmp->left); > //Если есть правый наследник, то помещаем его в очередь для дальнейшей обработки if (tmp->right) < pushBack(q, tmp->right); > > deleteDblLinkedList(&q); >

void breadthFirstWakaWaka(Node* root) < DblLinkedList *q = createDblLinkedList(); pushFront(q, root); while (q->size != 0) < Node *tmp = (Node*) popFront(q); printf("%d ", tmp->data); if (tmp->left) < pushFront(q, tmp->left); > if (tmp->right) < pushFront(q, tmp->right); > > deleteDblLinkedList(&q); >

Теперь функция обходит узлы как Post-Order, только задом наперёд.

Обход бесконечных деревьев

Б ывают ситуации, когда необходимо обработать бесконечное дерево. Дерево может генерироваться, когда мы обращаемся к нему (например, мы обходим сайт, страницы которого генерируются сервером во время обращения), либо его размер просто не известен (и возможно велик).

Если дерево растёт бесконечно в глубину, то его можно обрабатывать, используя проход в ширину. То есть, известно, что если спускаться вниз по ветви, то до конца мы не дойдём, но на данном уровне дерево имеет конечный размер.

Если дерево растёт бесконечно в ширину, но при этом имеет конечную глубину (то есть, у узла не два наследника, а из бесконечно много), то можно использовать поиск в глубину.

Обработку бесконечного дерева можно заканчивать например, когда обработано достаточно большое количество узлов или их значения достигли какой-то величины.

Пусть робот «шмугл» индексирует страницы на сайте. Количество ссылок на странице конечно. (т.к. страница конечна). То есть можно рассматривать страницы как узел, ссылки с которой ведут к другим узлам. Конечно, есть ссылки, которые ведут на предыдущие страницы, есть кросс-ссылки между страницами на одном уровне вложенности и т.д., сейчас всех тонкостей рассматривать не будем. То есть, есть дерево, у каждого узла которого конечное число наследников. В лучшем случае количество ссылок конечно и охватывает весь сайт. Однако, может попасться страница, на которой есть календарь, ссылки с которого генерируются автоматически. Программист забыл, что ссылки в будущее надо запретить, поэтому в глубину мы получаем бесконечно дерево, каждый новый узел которого генерируется автоматически. Обход этого дерева закончится, например, когда будет забит канал или превышен лимит по ссылкам.

Всё ещё не понятно? – пиши вопросы на ящик

Источник