Помеченные деревья и деревья выражений
Часто бывает полезным сопоставить каждому узлу дерева метку или значение. Дерево, у которого узлам сопоставлены метки, называется помеченным деревом. Метка узла – это значение, которое «хранится» в узле. Полезна следующая аналогия: дерево – список, узел – позиция, метка – элемент.
Рассмотрим пример дерева с метками, представляющее арифметическое выражение ( a + b )*( a + c ), где n 1 , n 2 , …, n 7 – имена узлов, а метки проставлены рядом с соответствующими узлами. Правила соответствия меток деревьев элементам выражений следующие:
- Метка каждого листа соответствует операнду и содержит его значение;
- Метка каждого внутреннего (родительского) узла соответствует оператору.
Часто при обходе деревьев составляется список не имен узлов, а их меток. В случае дерева выражений при прямом обходе получим известную префиксную форму записи выражения, где оператор предшествует обоим операндам. В нашем примере мы получим префиксное выражение вида: *+ ab + ac .
Обратный обход меток дерева дает постфиксное представление выражения (польскую запись). Обратный обход нашего дерева даст нам следующую запись выражения: ab + ac +*.
Следует учесть, что префиксная и постфиксная запись выражения не требует скобок.
При симметричном обходе мы получим обычную инфиксную запись выражения: a + b * a + c . Правда для инфиксной записи выражений характерно заключение в скобки: ( a + b )*( a + c ).
Реализация деревьев
Пусть дерево T имеет узлы 1, 2, …., n . Возможно, самым простым представлением дерева T будет линейный массив A , где каждый элемент A [ i ] содержит номер родительского узла (является курсором на родителя). Поскольку корень дерева не имеет родителя, то его курсор будет равен 0.
Для приведенного на рисунке дерева построим линейный массив по следующему правилу: A [ i ]= j , если узел j является родителем узла i , A [ i ]=0, если узел i является корнем. Тогда массив будет выглядеть следующим образом:
Другой важный и полезный способ представления деревьев состоит в формировании для каждого узла списка его сыновей. Рассмотрим этот способ для приведенного выше примера.
Двоичные деревья
Двоичное или бинарное дерево – это наиболее важный тип деревьев. Каждый узел бинарного дерева имеет не более двух поддеревьев, причем в случае только одного поддерева следует различать левое или правое. Строго говоря, бинарное дерево – это конечное множество узлов, которое является либо пустым, либо состоит из корня и двух непересекающихся бинарных деревьев, которые называются левым и правым поддеревьями данного корня. Тот факт, что каждый сын любого узла определен как левый или как правый сын, существенно отличает двоичное дерево от обычного упорядоченного ориентированного дерева.
Если мы примем соглашение, что на схемах двоичных деревьев левый сын всегда соединяется с родителем линей, направленной влево и вниз от родителя, а правый сын – линией, направленной вправо и вниз, тогда деревья, изображенные на рисунке а) и б) ниже, – это различные деревья, хотя они оба похожи на обычное дерево (рис. в)).
Двоичные деревья нельзя непосредственно сопоставить с обычным деревом.
Обход двоичных деревьев в прямом и обратном порядке в точности соответствует таким же обходам обычных деревьев. При симметричном обходе двоичного дерева с корнем n левым поддеревом T 1 и правым поддеревом T 2 сначала проходится поддерево T 1 , затем корень n и далее поддерево T 2 .
Представление двоичных деревьев
Бинарное дерево можно представить в виде динамической структуры данных, состоящей из узлов, каждый из которых содержит кроме данных не более двух ссылок на правое и левое бинарное дерево. На каждый узел имеется одна ссылка. Начальный узел называется корнем.
По аналогии с элементами списков, узлы дерева удобно представить в виде записей, хранящих информацию и два указателя:
Пример фрагмента программы дерева
Изобразим схематично пример дерева, организованного в виде динамической структуры данных:
Обратите внимание на рисунок, приведенный выше. Данное дерево организовано таким образом, что для каждого узла все ключи (значения узлов) его левого поддерева меньше ключа этого узла, а все ключи его правого поддерева больше. Такой способ построения дерева называется деревом поиска или двоичным упорядоченным деревом.
С помощью дерева поиска можно организовать эффективный способ поиска, который значительно эффективнее поиска по списку.
Поиск в упорядоченном дереве выполняется по следующему рекурсивному алгоритму:
— если ключи совпадают, поиск завершен;
— если ключ в корне больше искомого, выполнить поиск в левом поддереве;
— если ключ в корне меньше искомого, выполнить поиск в правом поддереве.
Дерево поиска может быть использовано для построения упорядоченной последовательности ключей узлов. Например, если мы используем симметричный порядок обхода такого дерева, то получим упорядоченную по возрастанию последовательность: 1 6 8 10 20 21 25 30.
Можно организовать «зеркально симметричный» обход, начиная с правого поддерева, тогда получим упорядоченную по убыванию последовательность: 30 25 20 10 8 6 1.
Таким образом, деревья поиска можно применять для сортировки значений.
Операции с двоичными деревьями
Для работы с двоичными деревьями важно уметь выполнять следующие операции:
- Поиск по дереву;
- Обход дерева;
- Включение узла в дерево;
- Удаление узла из дерева.
1. Алгоритм поиска по дереву мы рассмотрели выше. Функция поиска :
Пример функции поиска
function find(root:tree; key:integer; var p, parent:tree):Boolean;
2. Мы рассмотрели несколько способов обхода дерева. Наибольший интерес для двоичного дерева поиска представляет симметричный обход, т.к. он дает нам упорядоченную последовательность ключей. Логично реализовать обход дерева в виде рекурсивной процедуры.
Источник
4.4.4. Представление выражений с помощью деревьев
С помощью деревьев можно представлять произвольные арифметические выражения. Каждому листу в таком дереве соответствует операнд, а каждому родительскому узлу — операция. В общем случае дерево при этом может оказаться не бинарным.
Однако если число операндов любой операции будет меньше или равно двум, то дерево будет бинарным. Причем если все операции будут иметь два операнда, то дерево окажется строго бинарным.
Рис.4.16. Представление арифметического выражения произвольного вида в виде дерева.
Рис. 4.17. Представление арифметического выражения в виде бинарного дерева
Бинарные деревья могут быть использованы не только для представления выражений, но и для их вычисления. Для того чтобы выражение можно было вычислить, в листьях записываются значения операндов.
Затем от листьев к корню производится выполнение операций. В процессе выполнения в узел операции записывается результат ее выполнения. В конце вычислений в корень будет записано значение, которое и будет являться результатом вычисления выражения.
Помимо арифметических выражений с помощью деревьев можно представлять выражения других типов. Примером являются логические выражения. Поскольку функции алгебры логики определены над двумя или одним операндом, то дерево для представления логического выражения будет бинарным
Рис.4.18. Вычисление арифметического выражения с помощью бинарного дерева
Рис. 4.19. Представление логического выражения в виде бинарного дерева
4.5. Представление сильноветвящихся деревьев
До сих пор мы рассматривали только способы представления бинарных деревьев. В ряде задач используются сильноветвящиеся деревья. Каждый элемент для представления бинарного дерева должен содержать как минимум три поля — значение или имя узла, указатель левого поддерева, указатель правого поддерева. Произвольные деревья могут быть бинарными или сильноветвящимися. Причем число потомков различных узлов не ограничено и заранее не известно.
Тем не менее, для представления таких деревьев достаточно иметь элементы, аналогичные элементам списковой структуры бинарного дерева. Элемент такой структуры содержит минимум три поля: значение узла, указатель на начало списка потомков узла, указатель на следующий элемент в списке потомков текущего уровня. Также как и для бинарного дерева необходимо хранить указатель на корень дерева. При этом дерево представлено в виде структуры, связывающей списки потомков различных вершин. Такой способ представления вполне пригоден и для бинарных деревьев.
Представление деревьев с произвольной структурой в виде массивов может быть основано на матричных способах представления графов.
Рис.4.20. Представление сильноветвящихся деревьев в виде списков
4.6. Применение сильноветвящихся деревьев
Один из примеров применения сильноветвящихся деревьев был связан с представлением арифметических выражений произвольного вида. Рассмотрим использование таких деревьев для представления иерархической структуры каталогов файловой системы. Во многих файловых системах структура каталогов и файлов, как правило, представляет собой одно или несколько сильноветвящихся деревьев. В файловой системе MS Dos корень дерева соответствует логическому диску. Листья дерева соответствуют файлам и пустым каталогам, а узлы с ненулевой степенью — непустым каталогам.
Рис.4.21. Представление логической структуры каталогов и файлов в виде сильноветвящегося дерева.
Для представления такой структуры используем расширение спискового представления сильноветвящихся деревьев. Способы представления деревьев, рассмотренные ранее, являются предельно экономичными, но не очень удобными для перемещения по дереву в разных направлениях. Именно такая задача встает при просмотре структуры каталогов. Необходимо осуществлять «навигацию» — перемещаться из текущего каталога в каталог верхнего или нижнего уровня, или от файла к файлу в пределах одного каталога.
Для облегчения этой задачи сделаем списки потомков двунаправленными. Для этого достаточно ввести дополнительный указатель на предыдущий узел «last». С целью упрощения перемещения по дереву от листьев к корню введем дополнительный указатель на предок текущего узла «up». Общими с традиционными способами представления являются указатели на список потомков узла «down» и следующий узел «next».
Для представления оглавления диска служат поля имя и тип файла/каталога. Рассмотрим программу, которая осуществляет чтение структуры заданного каталога или диска, позволяет осуществлять навигацию и подсчет места занимаемого любым каталогом.
Источник