Комбинаторные задачи
Комбинаторика (от латинского слова combinare, означающего №соединять», «сочетать») — это область математики, которая изучает способы выбора, расположения, сочетания различных объектов. Решение задач в данном разделе математики требует рассмотрения и подсчёта всех возможных комбинаций (отсюда название комбинаторные задачи). Решая эти задачи, обычно надо отвечать на вопрос «Сколькими способами. » или «Сколько вариантов. «
Задача: Нам даны фигуры: треугольник, овал и прямоугольник . Необходимо построить пирамидку, состоящую из трех разных фигур. Сколькими способами это можно сделать?
Метод перебора
Данный метод удобен при небольшом числе вариантов. Решение в данном случае происходит путём перебора всех возможных вариантов. При этом очень важно выбрать правильный вариант перебора — логику перебора.
Воспользуемся методом перебора: Пусть в основании пирамидки находится прямоугольник, тогда возможны варианты построения: прямоугольник — овал — треугольник и прямоугольник — треугольник — овал.
Теперь в основании положим овал, тогда возможны варианты построения: овал — прямоугольник — треугольник и овал — треугольник — прямоугольник.
Теперь в основании положим треугольник, тогда возможны варианты построения: треугольник — прямоугольник — овал и треугольник — овал — прямоугольник.
Итак, мы получили шесть возможных вариантов:
Ответ: 6 способов.
При решении данной задачи мы изображали фигуры, но для упрощения решения можно использовать кодирование. Данный прием позволяет заметить фигуры, например, первыми буквами их названия, то есть овал обозначаем буквой О, треугольник — Т, прямоугольник — П. Тогда решение будет выглядеть так:
Дерево возможных вариантов
Данный метод заключается в построении схемы, которая и называется деревом возможных вариантов. Данная схема действительно похожа на перевернутое дерево, «корень» которого обозначается «*». Построим данную схему для нашей задачи: Для этого от «корня» проведем три «ветки» — отрезки, на концах которых подпишем варианты фигур, которые мы можем взять за основание. Далее от каждой фигуры проводим такое количество «веток», которое будет соответствовать числу вариантов фигур на втором месте, в нашем случае по две «ветки» от каждой фигуры. Затем от каждой фигуры, стоящей на втором месте, проводим такое число «веток», которое будет соответствовать числу вариантов фигур на третьем месте, в нашем случае по одной «ветке» от каждой фигуры. Тогда имеем следующее дерево возможных вариантов:
Метод отрезков
Данный метод используется только для составления всевозможных пар. Например, рассмотрим прямую, на которой обозначены точки A, B, C, D, F:
Необходимо ответить на вопрос: » Сколько отрезков изображено на рисунке?». Мы знаем, что отрезок обозначается двумя буквами, значит, для ответа на вопрос необходимо перебрать всевозможные пары букв. Это можно сделать при помощи следующей схемы: Отметим точки так, чтобы никакие 3 не лежали на одной прямой:
Соединим данные точки отрезками между собой. Число отрезков будет числом вариантов, то есть числом отрезков, изображенных на рисунке:
Итак, мы получили 10 отрезков, соединяющих точки.
Ответ: На рисунке 10 отрезков.
Источник
Элементы комбинаторики. Методы решения некоторых задач
В математике и ее приложениях часто приходится иметь дело с различного рода множествами и подмножествами: устанавливать их связь между элементами каждого, определять число множеств или их подмножеств, обладающих заданным свойством. Такие задачи приходится рассматривать при определении наиболее выгодных коммуникаций внутри города, при организации автоматической телефонной связи, работы морских портов, при выявлении связей внутри сложных молекул, генетического кода, а также в лингвистике, в автоматической системе управления, значит и в теории вероятностей, и в математической статистике со всеми их многочисленными приложениями.
Поговорим об одном из разделов теории вероятности – комбинаторике.
Комбинаторика — ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. Еще комбинаторику можно понимать как перебор возможных вариантов. Комбинаторика возникла в 17 веке. Долгое время она лежала вне основного русла развития математики.
С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов — во время работы.
Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга. Нельзя точно сказать, когда наряду с состязаниями в беге, метании диска, прыжках появились игры, требовавшие, в первую очередь, умения рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника.
Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв, заменах букв с использованием ключевых слов и т.д.
Комбинаторика как наука стала развиваться в 18 веке параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж.Кардано, Н.Тарталье (1499-1557), Г.Галилею (1564-1642) и французс- ким ученым Б.Паскалю (1623-1662) и П.Ферма.
Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г.Лейбниц в своей работе “ Об искусстве комбинаторики ”, опубликованной в 1666 году. Он также впервые ввел термин “комбинаторика”. Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л.Эйлер. В современном обществе с развитием вычислительной техники комбинаторика “добилась” новых успехов. В настоящее время в образовательный стандарт по математике включены основы комбинаторики, решение комбинаторных задач методом перебора, составлением дерева вариантов (еще его называют “дерево возможностей”) с применением правила умножения. Так, например, “дерево возможностей” помогает решать разнообразные задачи, касающиеся перебора вариантов происходящих событий. Каждый путь по этому “дереву” соответствует одному из способов выбора, число способов выбора равно числу точек в нижнем ряду “дерева”. Правило умножения заключается в том, что для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В. В задачах по комбинаторике часто применяется такое понятие как факториал (в переводе с английского “factor” — “множитель”).
Итак, произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут: n!=1 2 3 … (n-1) n
В комбинаторике решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.
1. В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на второе — мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье — чай и компот. Сколько различных обедов можно составить из указанных блюд?
1 способ. Перечислим возможные варианты
Источник