Комбинаторные задачи
Комбинаторика (от латинского слова combinare, означающего №соединять», «сочетать») — это область математики, которая изучает способы выбора, расположения, сочетания различных объектов. Решение задач в данном разделе математики требует рассмотрения и подсчёта всех возможных комбинаций (отсюда название комбинаторные задачи). Решая эти задачи, обычно надо отвечать на вопрос «Сколькими способами. » или «Сколько вариантов. «
Задача: Нам даны фигуры: треугольник, овал и прямоугольник . Необходимо построить пирамидку, состоящую из трех разных фигур. Сколькими способами это можно сделать?
Метод перебора
Данный метод удобен при небольшом числе вариантов. Решение в данном случае происходит путём перебора всех возможных вариантов. При этом очень важно выбрать правильный вариант перебора — логику перебора.
Воспользуемся методом перебора: Пусть в основании пирамидки находится прямоугольник, тогда возможны варианты построения: прямоугольник — овал — треугольник и прямоугольник — треугольник — овал.
Теперь в основании положим овал, тогда возможны варианты построения: овал — прямоугольник — треугольник и овал — треугольник — прямоугольник.
Теперь в основании положим треугольник, тогда возможны варианты построения: треугольник — прямоугольник — овал и треугольник — овал — прямоугольник.
Итак, мы получили шесть возможных вариантов:
Ответ: 6 способов.
При решении данной задачи мы изображали фигуры, но для упрощения решения можно использовать кодирование. Данный прием позволяет заметить фигуры, например, первыми буквами их названия, то есть овал обозначаем буквой О, треугольник — Т, прямоугольник — П. Тогда решение будет выглядеть так:
Дерево возможных вариантов
Данный метод заключается в построении схемы, которая и называется деревом возможных вариантов. Данная схема действительно похожа на перевернутое дерево, «корень» которого обозначается «*». Построим данную схему для нашей задачи: Для этого от «корня» проведем три «ветки» — отрезки, на концах которых подпишем варианты фигур, которые мы можем взять за основание. Далее от каждой фигуры проводим такое количество «веток», которое будет соответствовать числу вариантов фигур на втором месте, в нашем случае по две «ветки» от каждой фигуры. Затем от каждой фигуры, стоящей на втором месте, проводим такое число «веток», которое будет соответствовать числу вариантов фигур на третьем месте, в нашем случае по одной «ветке» от каждой фигуры. Тогда имеем следующее дерево возможных вариантов:
Метод отрезков
Данный метод используется только для составления всевозможных пар. Например, рассмотрим прямую, на которой обозначены точки A, B, C, D, F:
Необходимо ответить на вопрос: » Сколько отрезков изображено на рисунке?». Мы знаем, что отрезок обозначается двумя буквами, значит, для ответа на вопрос необходимо перебрать всевозможные пары букв. Это можно сделать при помощи следующей схемы: Отметим точки так, чтобы никакие 3 не лежали на одной прямой:
Соединим данные точки отрезками между собой. Число отрезков будет числом вариантов, то есть числом отрезков, изображенных на рисунке:
Итак, мы получили 10 отрезков, соединяющих точки.
Ответ: На рисунке 10 отрезков.
Источник
Дерево возможных вариантов решений
1 Методика изучения темы: « Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей в школьном курсе математики 7- 9 классов»
Из опыта работы учителя математики МОУ – СОШ №5
Сливко Натальи Анатольевны
О необходимости изучения в школе элементов теории вероятностей и статистики речь идет очень давно. Приведу, например, цитату более чем столетней давности:
« Приходилось слышать, что теория сочетаний и бином Ньютона предлагаются иногда, как отделы, которые можно было сократить. Соглашусь на другие сокращения, выскажусь решительно против сокращения теории сочетаний. Теория эта по – особенному значению своему принадлежит к таким отделам, преподавание которых в гимназии следует непременно сохранить и поставить в лучшие условия. Теория сочетаний представляет средство для одной из важнейших способностей ума – способности представлять явления в разных комбинациях. Эта способность нужна в жизни всякому…». Так в 1899 году попечитель Московского учебного округа профессор П.А. Некрасов на совещании по вопросам средней школы описывал значение и место в школьном образовании того, что принято называть стохастической линией в преподавании математики.
По вопросам реформирования и модернизации нынешнего школьного математического образования существует множество весьма различных мнений. При этом среди вопросов о содержании школьной математики никто не подвергает сомнению необходимость включения стохастической линии в школьный курс, поскольку именно изучение и осмысление теории вероятностей и стохастических проблем развивает комбинаторное мышление, так нужное в нашем перенасыщенном информацией мире
Все мы довольно часто говорим «это невероятно», «более вероятно, что ..», « это мало вероятно», « можно утверждать со стопроцентной вероятностью, что …», когда пытаемся спрогнозировать наступление того или иного события. При этом мы опираемся на интуицию, жизненный опыт, здравый смысл и т. п. Но очень часто такие приблизительные оценки оказываются недостаточными: бывает важно знать, на сколько или во сколько раз совершение одного случайного события вероятнее другого. Иными словами, нужны точные количественные оценки, надо уметь численно характеризовать возможность наступления того или иного события. Раздел математики, посвященный исследованию количественных оценок случайных событий называется теорией вероятностей.
Её основателями считают Пьера Ферма и Блеза Паскаля. Эти французские ученые
17 века первыми нашли ключ к составлению количественной оценки вероятности события. Они использовали метод, который позже был назван комбинаторным анализом, или, проще, комбинаторикой.
Приведу пример, который иллюстрирует все вышесказанные слова.
Начальник написал 10 различных писем и поручил своему помощнику подписать 10 конвертов с нужными адресами. Тот так и сделал, но дальнейшее перепоручил секретарше. Она выполнила это ответственное задание формально, то есть разложила письма по конвертам, не обращая внимания на адреса. Какова вероятность
того, что ни одно письмо не попало в нужный конверт? Ответ оказывается на удивление большим: вероятность такой масштабной ошибки превышает 36%!
Раздел математики : «Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей» в школьный курс введен совсем недавно. Введение этих вопросов – веление времени. Для учителей этот раздел новый, все когда – то изучали эти вопросы в институте, но это было давно и учили нас, а теперь нам надо вспомнить
( можно сказать: выучить заново) и научить своих учеников.
Стохастическая линия в преподавании математики вводилась постепенно.
В 2002 — 2003 учебном году в курс алгебры 7 класса ввели тему «Элементы статистики», которая была рассчитана на 4 часа, и предлагалось ее изучать в конце учебного года за счет уроков повторения. В дальнейшем в 2003 – 2004 учебном году уже в 7 – 8 классах, а с 2004 – 2005 учебного года в 7 – 9 классах изучается тема
« Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей». Рассмотрение этих вопросов также планировалось в конце учебного года, что было не очень удачным. Каждый учитель знает как трудно воспринимают дети новые темы в мае месяце.
В декабре 2007 года впервые в краевые диагностические работы были включены задачи по комбинаторике.( у меня не было тогда 9 класса).
В 2010 в апрельскую краевую диагностическую работу также включили задачи по комбинаторике ( 38% учащихся 9 «А» класса справились с решением этих задач). При проведении ГИА по алгебре в 9классах в 2010 году были включены задания по статистике и теории вероятностей. ( 84% учащихся 9 «А» верно выполнили эти задания)
В демоверсию ГИА по математике 9 класса 2011 года также входят такие задачи.
В 2010 – 2011 учебном году вопросы стохастической линии распределены следующим образом:
Источник