загадочное правило да Винчи.
Однажды, пытаясь правильно нарисовать дерево, Леонардо да Винчи вывел формулу, согласно которой общая площадь срезов всех его ветвей на каждой высоте остается одной и той же и равна площади среза основного ствола. Проверка этого правила показала, что оно довольно хорошо выполняется: если да Винчи говорил о сумме квадратов диаметров, то в реальности оно справедливо для суммы диаметров, возведенных в степень, которая колеблется от 1,8 до 2,3. Для таких причудливых и совершенно нематематических организмов, как деревья, это очень хорошее соответствие.
Откуда гений Возрождения взял свое правило, наверное, так и останется загадкой. Неразгаданной до сих пор оставалась и причина, по которой деревья ему подчиняются. Собственно, никто за прошедшие века над этим особенно и не задумывался, всех устраивала спекулятивная, никем не проверенная гипотеза ботаников, согласно которой это нужно для того, чтобы равномерно питать водой все ветки дерева для правильного роста листьев на них. Гипотеза была настолько логичной, что необходимости в поиске другого объяснения просто не было.
Однако главная причина, как ни странно, заключалась в ветре. Это доказал французский физик Кристоф Элой, специалист по механике жидкостей. Он заподозрил, что дело действительно имеет отношение к листьям, но не к их водной диете, а к тому, как на них действует сила ветра. Он математически описал дерево в виде «фрактальной структуры консольных ветвей» или, говоря по-русски, такой структуры раздваивающихся лучей, где каждая часть структуры подобна всей структуре целиком. В реальности большинство деревьев так и растет – ветви разделяются на одно и то же количество дочерних, расположенных примерно под теми же углами и примерно также ориентированными.
В эту модель он ввел силу ветра, действующую на листья и, соответственно, на ветви, вставил константу, определяющую, когда ветка под этим напором ломается, и попытался с помощью компьютерной симуляции определить толщину ветвей, оптимальную для сопротивления перелому. В результате у него получилась формула Леонардо, где вместо суммы квадратов фигурирует сумма степеней от 1,8 до 2,3 – то есть именно то, что мы наблюдаем в действительности.
Работу Элоя уже назвали «простой и элегантной», эксперты считают, что ее результаты могут быть использованы архитекторами при строительстве высотных сооружений сложной формы, где надо учитывать сопротивление ветру, но самое удивительное в ней – это то, что за сотни лет никому в голову не пришло связать правило да Винчи и ветер
Источник
Лесная геометрия: Код Да Винчи
Грациозный ствол дерева разделяется на ветви, сперва немногочисленные и мощные, а те – на все более тонкие. Это так прекрасно и так естественно, что вряд ли кто-нибудь из нас обращал внимание на простую закономерность, замеченную, однако, великим Леонардо. Дело в том, что общая толщина ветвей на определенной высоте всегда равна толщине ствола. До сих пор никто не мог объяснить, для чего деревья строго следуют этой закономерности.
Слева – переменные созданной Кроистофером Элоем модели, использованной для доказательства его гипотезы. Справа – фрактальный «скелет» модели дерева до того, как алгоритм начал менять диаметры его ствола и ветвей, подбирая оптимальные величины
«Правило Леонардо» справедливо практически для всех известных видов деревьев. О нем осведомлены и создатели компьютерных игр, создающие реалистичные трехмерные модели деревьев. Более точно, правило это устанавливает, что в месте, где ствол или ветвь раздваивается, сумма сечений раздвоенных веток будет равна сечению исходной ветви. Когда затем и эта ветка раздвоится, сумма сечений уже четырех ее ответвлений будет по-прежнему равна сечению исходного ствола. И так далее.
Еще изящнее это правило записывается математически. Если ствол диаметром D разделяется на произвольное число ветвей n с диаметрами d1, d2 и так далее, сумма их диаметров, возведенных в квадрат, будет равна квадрату диаметра ствола. По формуле: D2 = ∑di2, где i = 1, 2, . n. В реальной жизни степень не всегда строго равна двум и может варьировать в пределах 1,8−2,3, в зависимости от особенностей геометрии того или иного дерева, но в целом зависимость строго соблюдается.
Чтобы объяснить этот феномен, ботаники предположили, что подобное отношение оптимально для работы системы трубок, по которым вода поднимается от корней дерева к листве. Идея выглядит вполне обоснованной хотя бы потому, что от квадрата радиуса прямо зависит площадь сечения, определяющая пропускную способность трубы. Однако французский физик Кристоф Элой (Christophe Eloy) с этим не согласен — по его мнению, связана такая закономерность не с водой, а с воздухом.
Для обоснования своей версии ученый создал математическую модель, которая связывает площадь листвы дерева с действующей на излом силой ветра. Дерево в ней описывалось, как закрепленное лишь в одной точке (месте условного ухода ствола под землю), и представляющее собой ветвящуюся фрактальную структуру (т.е. такую, в которой каждый меньший элемент представляет собой более или менее точную копию старшего).
Добавив к этой модели давление ветра, Эллой ввел определенный постоянный показатель его предельной величины, после которой ветви начинают ломаться. Исходя из этого, он произвел расчеты, которые показали бы оптимальную толщину разветвляющихся веток, такую, при которой сопротивление силе ветра было бы наилучшим. И что же — он пришел ровно к той же зависимости, причем идеальное значение той же величины лежало между 1,8 и 2,3.
Простоту и элегантность идеи и ее доказательства уже оценили специалисты. Так, массачусетский инженер Педро Рейс (Pedro Reis) комментирует: «Исследование ставит деревья на высоту искусственных сооружений, специально просчитанных для сопротивления ветру — лучшим примером которых является Эйфелева башня». Осталось дождаться, что скажут на это ботаники.
Источник
Лес дробной размерности Физик нашел красивое объяснение правила Леонардо
В издании записных книжек Леонардо да Винчи, выпущенных в 1970 году Жан-Полем Рихтером, можно найти запись следующего содержания: «Толщина всех веток дерева на любой его высоте, сложенная вместе, дает толщину ствола». Это и есть то самое «правило Леонардо», о котором пойдет ниже речь. Несмотря на то, что легендарный художник и ученый сформулировал этот элегантный природный закон около 500 лет назад, до последнего времени он оставался без достойного (то есть столь же элегантного) объяснения.
Симметрии в природе
Природные закономерности, как, скажем, логарифмическая спираль, золотое сечение или числа Фибоначчи, всегда вызывали интерес у ученых — еще бы, ведь природа сама подкидывает объекты для изучения. Правило Леонардо в этом смысле не исключение — в 1964 и 1976 годах (мы говорим только о современных трудах, почему — станет понятно ниже) вышли работы, в которых были предложены две не самые сильные гипотезы, объясняющие обнаруженное Леонардо соотношение. Но на этом дело, по сути, застопорилось.
Прежде чем перейти к изложению обоих объяснений, сформулируем правило Леонардо на более строгом языке. А именно, предположив, что сечение каждой ветки представляет собой круг, правило можно сформулировать следующим образом: сумма квадратов диаметров веток на данной высоте h не зависит от этой высоты. Как следствие, эта сумма равняется квадрату диаметра ствола у основания. Те немногие практические данные, которые есть по правилу Леонардо (полноценных эмпирических исследований по нему не проводилось), указывают на то, что вместо квадратов диаметров следует рассматривать произвольные степени. Значение этой степени получило название показателя Леонардо и лежит в пределах от 1,8 до 2,3.
Итак, первая гипотеза, которая получила наименование «трубной» (1964 год) утверждает, что все дело в сосудах для транспортировки питательных веществ от корней к листьям. Мол, суммарная площадь сечений не меняется из-за, так сказать, гидромеханических соображений. Слабое место этой гипотезы заключается в том, что площадь сечения ветви по большому счету слабо связано с сосудами, проходящими через него — этот показатель меняется с возрастом дерева и для пожилых растений может составлять 0,05 от площади сечения ствола.
Вторая гипотеза (1976 год) связывала структуру с так называемым принципом упругого подобия — отклонение ветки под собственным весом должно быть пропорционально ее длине. Несмотря на довольно интересную формулировку, данный принцип лишен очень важного качества, поскольку он не дает вопрос на ответ «почему?» — в частности, почему деревья следуют этому правилу? Если упругое подобие и дает какие-то эволюционные преимущества, то они неясны. Да и не очень понятен непосредственно механизм реакции самого дерева на угол отклонения его ветки под собственной тяжестью.
Кто знает, так бы и оставалось правило Леонардо подспорьем для специалистов по компьютерной графике (оказывается, они вовсю используют его для рисования «натуральных» деревьев), если бы не Кристоф Элой из Калифорнийского университета в Сан-Диего (его статью на днях приняли к публикации в Physical Review Letters). Он обратился к идеям, которые ученые высказывали еще в XIX веке — многие особенности строения деревьев объясняются чисто механическими причинами, в частности, воздействием ветра.
Понятное дело, что просто так взять и посчитать силу действия ветра на дерево, конечно, не получится. Вместе с тем, оказывается, несмотря на всю сложность этого объекта, свести его строение к некоторому малочисленному набору численных параметров можно. В этом Элою помогли фракталы.
Фракталы и деревья
Вопреки распространенному мнению, у фракталов нет строгого математического определения — к этому классу относят объекты совершенно разной структуры и природы. Если говорить о фракталах в представлении автора термина Бенуа Мандельброта, то это объекты, обладающие некоторым самоподобием — то есть небольшая часть такого объекта, будучи увеличена, напоминает (почти в точности) исходный объект. К такого рода штукам относятся, например, капуста брокколи, береговые линии и деревья — достаточно крупная ветка, не считая листьев, вполне может при должном приближении сойти за полноценное дерево.
Для описания подобных объектов используется понятие хаусдорфовой размерности — это обобщение интуитивно очевидного понятия размерности пространства (на самом деле таких обобщений для разных математических нужд придумано довольно много). Именно эта размерность и добавляет фракталам в представлении обычного обывателя экзотичности, поскольку может принимать не только целые, но и дробные значения.
В рамках работы Элой рассматривал дерево в качестве как раз такого фрактала с условием, что из каждой точки ветвления выходит ровно N веток. При этом соотношение длин ветвей после ветвления номер k было пропорционально корню степени D из N, где D как раз и было хаусдорфовой размерностью полученного фрактала. В свою очередь, соотношение диаметров было пропорционально корню степени L из N, где L был тем самым показателем Леонардо, фигурировавшим в его законе. При таком задании дерево задается всего несколькими параметрами (помимо N) — углами наклона ветвей и несколькими параметрами, входящими в формулы.
Чтобы описать механику воздействия ветра на дерево, ученый обратился к численному моделированию воздействия на компьютере. Всего использовались две модели нагрузки на дерево. В одном случае сила прикладывалась к концам — так называемая модель балки со свободным концом. Это соответствовало случаю, когда ветер действует преимущественно на листья. Во втором случае воздействие оказывалось на сами ветки пропорционально их длине.
Затем Элой предположил, что вероятность надлома ветки не меняется со временем — то есть дерево в течение достаточно длительного времени сохраняет свои механические свойства. После этого он при помощи компьютерной модели попытался минимизировать вероятность надлома ветвей. Как оказалось, при фиксированном количестве биомассы в обеих моделях получался закон с показателями Леонардо из промежутка от 1,8 до 2,3.
По словам исследователя, новые результаты — еще одно проявление загадочного явления тигмоморфогенеза, то есть способности растений адаптировать параметры своего роста под воздействием «осязания», то есть регулярного соприкосновения растения с чем-нибудь. Именно оно ответственно за вызываемые ветром изменения.
Вместо заключения
Коллеги Элоя очень благосклонно восприняли работу исследователя. По их словам, это прекрасный пример элегантного объяснения не менее элегантного наблюдения. Кроме этого, они утверждают, что подобные исследования могут помочь в создании механических структур, которые устойчивы к воздействию ветра. Если даже объяснение окажется не совсем верным, то не очень страшно — сам факт наличия работы, в которой воедино связаны фракталы, деревья и наблюдение 500-летней давности, уже многого стоит.
Источник