Дискретная математика деревья лекция

LK / Лекция 11

Баранов Виктор Павлович. Дискретная математика. Раздел 3. Графы, сети, коды.

Лекция 11. Деревья и их свойства. Задача поиска кратчайшего остова

Лекция 11. ДЕРЕВЬЯ И ИХ СВОЙСТВА. ЗАДАЧА ПОИСКА КРАТЧАЙШЕГО ОСТОВА

1. Введение.
2. Определение дерева и его свойства.
3. Задача поиска кратчайшего остова.

1. Введение

Одним из наиболее важных понятий, которое часто используется в различных приложениях теории графов, является дерево. С помощью деревьев легко описывается структура самых различных объектов: организаций и учреждений, книг и документов, математических формул, химических соединений, компьютерных файловых систем, программ и многое другое. Принято считать, что первым использовал понятие дерева Кирхгофф в 1847 г. при исследовании электрических цепей. Спустя десять лет химик Кэли ввел термин «дерево» при изучении структуры углеводородных соединений и получил первые важные результаты в этом разделе теории графов.

1. Определение дерева и его свойства

Граф без циклов называется ациклическим или лесом. Связный ациклический граф называется деревом. Если – лес, то каждая его компонента является деревом. Листом называют вершину, степень которой равна 1, если она не рассматривается как корень. В качестве корня в неориентированном дереве можно принять любую вершину. Существует несколько эквивалентных определений неориентированного дерева, каждое из которых отражает различные свойства последнего. Приведем некоторые из них. Теорема. Следующие определения дерева эквивалентны:

1. дерево – это связный граф без циклов;
2. дерево – это связный граф, в котором каждое ребро является мостом;
3. дерево – это связный граф, цикломатическое число которого равно нулю;
4. дерево – это граф, в котором для любых двух вершин существует ровно одна соединяющая их цепь.

Эти утверждения выводятся одно из другого по схеме 1)2) 3) 4) 5). Из свойства 3) имеем: или , то есть в любом дереве число ребер на единицу меньше числа вершин. Рассмотрим связный граф и будем из него удалять по одному цикловые ребра до получения ациклического подграфа. В результате получим остовное дерево графа , для которого , . Так как удаление цикловых ребер можно вести разными способами, то один и тот же граф в общем случае имеет несколько остовных деревьев. На рис. 1. представлен граф и три его остовных дерева.                                     Рис. 1. Граф и его остовные деревья , и Ребра графа , не вошедшие в его остовное дерево , называются хордами дерева . Лемма. В графе для любого остовного дерева и любой хорды этого дерева существует единственный цикл, содержащий хорду и не содержащий других хорд. Доказательство. Пусть . В дереве имеется единственная цепь, соединяющая вершины и . Присоединяя к этой цепи ребро , получим требуемый цикл.

1. Задача поиска кратчайшего остова

Задача поиска кратчайшего остова состоит в следующем: для нагруженного графа требуется построить остовное дерево , сумма длин ребер которого минимальна. Этой задаче можно дать такую интерпретацию: пунктов на местности нужно связать сетью дорог, трубопроводов или линий телефонной связи. Для каждой пары пунктов и задана стоимость их соединения , которая представляет длину ребра . Требуется построить связывающую сеть минимальной стоимости, которую называют кратчайшей связывающей сетью. Очевидно, что эта сеть будет остовным деревом графа , при этом среди всех остовных деревьев она будет иметь минимальную сумму длин входящих в нее ребер. Алгоритм построения кратчайшей связывающей сети состоит из шагов, на каждом из которых присоединяется одно ребро. Правило для выбора этого ребра следующее: среди еще не выбранных ребер берется самое короткое, не образующее цикла с уже выбранными ребрами. Пример. Дана матрица расстояний , в которой элемент – вес ребра, который указывает в условных единицах затраты, необходимые для того, чтобы связать пункт с пунктом . Требуется с наименьшими затратами связать все пункты друг с другом. Применение сформулированного выше алгоритма выглядит следующим образом. В матрице отыскивается минимальный элемент, который вычеркивается, а соответствующее ему ребро заносится в сеть, если при этом не образуется цикл. Затем эти действия повторяются. Таким образом, на первых пяти шагах работы алгоритма будут выбраны ребра , , , , . Из оставшихся ребер минимальную длину имеет ребро , но в сеть оно не включается, так как образует цикл с уже выбранными ребрами. На следующих этапах алгоритма в сеть будут включены ребра , и . Для обоснования алгоритма предположим, что дерево , которое он строит, состоит из ребер , для которых . Рассмотрим любое другое дерево и упорядочим его ребра по возрастанию длин. Пусть первые ребер дерева такие же, как в дереве , а -е ребро отличается от (). Присоединим к дереву ребро . Тогда возникнет цикл, в который входит ребро и какие-то ребра из дерева . Среди этих ребер обязательно найдется ребро , длина которого не меньше, чем длина ребра : иначе ребро образовало бы цикл с ребрами меньшей длины, что исключается правилом выбора очередного ребра в рассмотренном алгоритме. Удалим из дерева ребро , заменив его ребром . В результате получим дерево, длина которого не больше, чем длина дерева . Аналогичным путем вводим в дерево ребра , при этом всякий раз длина дерева не увеличится. Это означает, что дерево действительно кратчайшее. 2

Источник

8. Остовы и деревья

Понятие дерева широко используется во многих областях математики и информатики. Например, как инструмент при вычислениях, как удобный способ хранения данных, способ сортировки или поиска данных.

Достаточно развитое генеалогическое дерево образует дерево.

Типичное частичное организационное дерево для университета.

Если дерево имеет хотя бы одно ребро, оно имеет две вершины со степенью 1. Вершины со степенью 1 называются листьями. Другие вершины называются внутренними вершинами.

Предположим, что дерево представляет физический объект, подвижный в вершинах, и подвесим дерево за одну из его вершин:

Если подвесить за вершину V3 или V4

Вершина в верхней части называется корнем дерева, если корень определен, то дерево называется корневым. При необходимости корневое дерево Т можно заменить на ориентированное корневое дерево Т’, порожденное корневым деревом Т.

Если корень выбран, уровень вершины V определяется длиной единственного пути из корня в вершину V. Высотой дерева называется длина самого длинного пути от корня дерева до листа.

Если рассматривается корневое ориентированное дерево Т’, порожденное данным корневым деревом Т, тогда вершина u называется родителем вершины v; a v называется сыном вершины u, если существует ориентированное ребро из u в v.

Если u — родитель v и v1, тогда v и v1 называются братьями.

Если существует ориентированный путь из вершины u в вершину v, тогда u называется предком вершины v, a v называется потомком вершины u.

Если наибольшая из степеней выхода для вершин дерева равна m, тогда дерево называется m — арным деревом.

В частном случае, когда m = 2, дерево называется бинарным деревом.

В каждом бинарном дереве каждый сын родителя обозначается либо как левый сын, либо как правый сын (но не то и другое одновременно).

Связный граф G(V,E), не имеющий циклов, называется деревом.

ТЕОРЕМА (основные свойства деревьев):

Пусть граф G(V,E) имеет n вершин. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1. G является деревом;
2. G не содержит циклов и имеет n-1 рёбер;
3. G связен и имеет n-1 рёбер;
4. G связен, но удаление » ребра нарушает связность;
5. » две вершины графа G соединены ровно одним путём;
6. G не имеет циклов, но добавление » ребра порождает ровно один цикл.

Ориентированное дерево представляет собой ориентированный граф без циклов, в котором полустепень захода каждой вершины (за исключением одной, например v₁) не больше 1, а полустепень захода вершины v₁ (называемой также корнем) равна нулю. Вершину v ордерева называют потомком вершины u, если $ путь из u в v. В этом же случае вершину u называют предком вершины v. Вершину, не имеющую потомков, называют листом. Высота ордерева – это наибольшая длина пути из корня в лист. Уровень вершины ордерева – длина пути из корня в эту вершину. Ордерево называют бинарным, если полустепень исхода любой его вершины не превосходит 2. Пусть задан неориентированный граф. Остовным деревом (остовом) связного графа называется любой его остовный подграф, являющийся деревом. Граф и два его остовных дерева (удаленные ребра показаны пунктиром).Задачи о кратчайших расстояниях на графах.

1. Построение минимального остовного дерева (кратчайшей связывающей сети) – соединение всех узлов сети с помощью путей наименьшей длины.
2. Задача о нахождении дерева кратчайших расстояний – нахождение кратчайшего пути из одной вершины в любую другую.
3. Построение матрицы кратчайших расстояний – нахождение кратчайших путей для любой пары вершин.

Необходимо проложить линии коммуникаций (дороги, линии связи, электропередач и т.п.) между n заданными «точечными» объектами, при условии: во-первых, известны «расстояния» между каждой парой объектов (это может быть геометрическое расстояние или стоимость прокладки коммуникаций между ними), во-вторых, объекты могут быть связаны как непосредственно, так и с участием произвольного количества промежуточных объектов. При допущении, что разветвления возможны только в этих же n объектах, задача сводится к нахождению кратчайшего остовного дерева (SST — shortest spanning tree, или MST — minimal spanning tree) во взвешенном графе, вершины которого соответствуют заданным объектам, а веса ребер равны «расстояниям» между ними. Определение.Весостовного дерева взвешенного графа G равен сумме весов, приписанных ребрам остовного дерева. Будем обозначать (T). Минимальным остовным деревом (МОД) называется такое остовное дерево графа G, что вес T меньше или равен весу любого другого остовного дерева графа G. Вес минимального остовного дерева будем обозначать _min(T). Задача 1:найти кратчайшее остовное дерево (минимальный покрывающий остов) взвешенного графа. Пусть дан неориентированный связный граф со взвешенными ребрами. Вес ребра (x_i,x_j) обозначим c_ij. Из всех остовов графа необходимо найти один, у которого сумма весов на ребрах наименьшая. Стоимость остовного дерева вычисляется как сумма стоимостей всех рёбер, входящих в это дерево. Построение остова графа G, имеющего наименьший вес, имеет широкое применение при решении некоторого класса задач прикладного характера. Например: Пусть, например, G=(V, E, ) служит моделью железнодорожной сети, соединяющей пункты v₁, v₂, …, v_nV, а (v_i, v_j) – расстояние между пунктами v_i и v_j. Требуется проложить сеть телеграфных линий вдоль железнодорожной сети так, чтобы все пункты v₁, v₂, …, v_n были связаны между собой телеграфной сетью, протяженность которой была бы наименьшей. Рассмотрим два способа построения минимального остовного дерева взвешенного графа: алгоритм Крускала и алгоритм Прима. Алгоритм Крускала: 1) Выбрать в графе G ребро e минимального веса, не принадлежащее множеству E и такое, что его добавление в E не создает цикл в дереве T. 2) Добавить это ребро во множество ребер E. 3) Продолжить, пока имеются ребра, обладающие указанными свойствами. Пример. Для данного взвешенного графа найти минимальное корневое остовное дерево, используя алгоритм Крускала. Определить высоту построенного дерева. Алгоритм Крускала. Выбираем ребро с минимальным весом. Это ребро, (, ) с весом, равным 4. Пусть вершина будет корнем дерева. Далее выбираем ребра, инцидентные вершинам , и имеющие минимальный вес. Это ребро (, ) с весом 5. Затем к вершине присоединяем ребро (,) с весом 7. Далее, добавляем ребро (, ) с весом 7 и ребро (,) с весом 6. Минимальный вес построенного дерева равен: _min(T)=4+5+7+7+6=29.

Источник