3.3 Дерево решений
Таблицу решений удобно использовать при анализе задач, имеющих одно множество альтернативных решений и одно множество состояний среды. Многие задачи требуют анализа последовательности решений и состояний среды, когда одна совокупность стратегий игрока и состояний природы порождает другое состояние подобного типа. Если имеют место два или более последовательных множества решений, причем последующие решения основываются на результатах предыдущих, и/или два или более множества состояний среды (т.е. появляется целая цепочка решений, вытекающих одно из другого, которые соответствуют событиям, происходящим с некоторой вероятностью), используется дерево решений.
Дерево решений – это графическое изображение процесса решений, в котором отражены альтернативные решения, состояния среды, соответствующие вероятности и выигрыши для любых комбинаций альтернатив и состояний среды.
Процесс принятия решения с помощью дерева решений в общем случае предполагает выполнение следующих пяти этапов.
Этап 1. Формулировка задачи. Прежде всего, необходимо отбросить не относящиеся к проблеме факторы, а среди множества оставшихся выделить существенные и несущественные. Это позволит привести описание задачи принятия решения к поддающейся анализу форме. Должны быть выполнены следующие основные процедуры: определение возможностей сбора информации для экспериментирования и реальных действий; составление перечня событий, которые с определенной вероятностью могут произойти; установление временного порядка расположения событий, в исходах которых содержится полезная и доступна информация, и тех последовательных действий, которые можно предпринять.
Этап 2. Построение дерева решений
Этап 3. Оценка вероятностей состояний среды, т.е. сопоставление шансов возникновения каждого конкретного события. Следует отметить, что указанные вероятности определяются либо н основании имеющейся статистики, либо экспертным путем.
Этап 4. Установление выигрышей (или проигрышей, как выигрышей со знаком минус) для каждой возможной комбинации альтернатив (действий) и состояний среды.
Этап 5. Решение задачи путем расчета ожидаемой стоимостной ценности (EMV) для каждой вершины состояния среды.
Дерево решений для компании «Буренка» изображено на следующей схеме.
EMV для вершины 1 = (0,5)(200)+(0,5)(-180) = 10
EMV для вершины 2 = (0,5)(100)+(0,5)(-20) = 40
3.4 Ожидаемая ценность достоверной информации
Предположим, что менеджер компании «Буренка» связался с фирмой, занимающейся исследованием рынка, которая предложила ему помочь в принятии решений о том, стоит ли создавать производство навесов для хранение кормов. Исследователи рынка утверждают, что их анализ позволит установить с полной определенностью, будет ли рынок благоприятным для данного продукта. Другими словами, условия в компании меняются в зависимости от того, принимается ли решение в условиях риска или же в условиях определенности. Эта информация может предостеречь Бычкова от очень дорогостоящей ошибки. Фирма, занимающаяся исследованием рынка, хотела бы получить за эту информацию 65 тыс. руб. Чтобы Вы порекомендовали Бычкову? Следует ли заказать проведение исследования рынка? Даже если результаты этого исследования являются совершенно точными, оправдана ли плата в 65 тыс. руб.?
Ожидаемой ценностью достоверной информацией (EVPI) назовем разность между выигрышем в условиях определенности и выигрышем в условиях риска:
EVPI = ожидаемый выигрыш в условиях определенности – максимум EMV
Для того, чтобы определить EVPI, мы должны вначале рассчитать математическое ожидание EMV в условиях определенности, которое равно ожидаемому, или среднему, доходу в случае, когда мы имеем достоверную информацию перед тем, как принять решение.
- Лучший исход для состояния среды «благоприятный рынок» – «создать большое производство» с выигрышем 200 тыс. руб. Лучший исход для состояния среды «неблагоприятный рынок» – «ничего не делать» с выигрышем 0. Ожидаемая ценность в условиях определенности = (200)(0,5) + (0)(0,5)=100. Итак, если бы мы располагали достоверной информацией, то ожидали бы получить в среднем 100 тыс. руб.
- Максимум EMV = 40 — ожидаемый доход без достоверной информации.
- EVPI = ценность в условиях определенности — максимум EMV = 100 — 40 = 60.
Итак, Бычкову следовало бы платить за достоверную информацию не более 60 тыс. руб. Конечно, такой вывод основывается на предположении, что вероятность реализации каждого состояния среды равна 0,5.
Предположим, что Бычкову надо принять два решения, причем второе решение зависит от исхода первого. Прежде чем создать новое производство, Бычков имеет намерение заказать исследование рынка и заплатить за него 10 тыс. руб. Результаты этого исследования могли бы помочь решить вопрос о том, следует ли создавать большое производство, малое производство или не делать ничего. Бычков понимает, что такое обследование рынка не может дать достоверную информацию, но может, тем не менее, оказаться полезным.
На рис. 3.1 показаны возможные состояния среды и решения, а также вероятности различных результатов обследования вероятности наступления различных состояний среды.
Дерево решений имеет два типа вершин:
Дерево решений Бычкова с рассчитанными EMV представлена на следующем рис. 3.2. Короткими параллельными линиями отсекается та ветвь, которая оказывается менее благоприятной по сравнению с другими и может быть отброшена.
Ожидаемая ценность наилучшего решения в случае, если будет заказано обследование рынка, составляет 49,2 тыс. руб. Ожидаемая ценность наилучшего решения без обследования составляет 40 тыс. руб.
Пример 3.2 Компания «Молодой сыр» — небольшой производитель различных продуктов из сыра. Один из продуктов — сырная паста — продается в розницу. Вадим Ароматов, менеджер компании должен решить, сколько ящиков сырной пасты следует производить в течение месяца. Вероятности того, что спрос на сырную пасту будет 6, 7, 8 или 9 ящиков равны соответственно 0,1; 0,3; 0,5; 0,1. Затраты на производство одного ящика 45 руб. Ароматов продает каждый ящик по цене 95 руб. Если ящик сырной пасты не продается в течение месяца, то она портится и компания не получает дохода.
- Сколько ящиков следует производить в течение месяца?
- Какова ожидаемая стоимостная ценность этого решения?
Пользуясь исходными данными, построим матрицу игры. Стратегиями игрока 1 (компания «Российский сыр») являются различные показатели числа ящиков с сырной пастой, которые ему, возможно, следует производить. Состояниями природы выступают величины спроса на аналогичное число ящиков.
Вычислим, например, показатель прибыли, которую получит производитель, если он произведет 8 ящиков, а спрос будет только на 7.
Каждый ящик продается по 95 руб. Компания продала 7, а произвела 8 ящиков. Следовательно, выручка будет , а издержки производства 8 ящиков . Итого прибыль от указанного сочетания спроса и предложения будет равна: руб. Аналогично производятся расчеты при других сочетаниях спроса и предложения.
В итоге получим следующую платежную матрицу. Как видно из таблицы, наибольшая средняя ожидаемая прибыль равна 352,5 руб. Она отвечает производству 8 ящиков.
Источник
Дерево решений
Своевременная разработка и принятие правильного решения — главные задачи работы управленческого персонала любой организации. Непродуманное решение может дорого стоить компании. На практике результат одного решения заставляет нас принимать следующее решение и т. д. Когда нужно принять несколько решений в условиях неопределенности, когда каждое решение зависит от исхода предыдущего или исходов испытаний, то применяют схему, называемую деревом решений.
- Дерево решений — это графическое изображение процесса принятия решений, в котором отражены альтернативные решения, альтернативные состояния среды, соответствующие вероятности и выигрыши для любых комбинаций альтернатив и состояний среды.
Рисуют деревья слева направо. Места, где принимаются решения, обозначают квадратами 
, места появления исходов — кругами 
возможные решения — пунктирными линиями 
, возможные исходы — сплошными линиями 
Для каждой альтернативы мы считаем ожидаемую стоимостную оценку (EMV) — максимальную из сумм оценок выигрышей, умноженных на вероятность реализации выигрышей, для всех возможных вариантов.
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
Примеры с решением
Пример 1.
Главному инженеру компании надо решить, монтировать или нет новую производственную линию, использующую новейшую технологию. Если новая линия будет работать безотказно, компания получит прибыль 200 млн. рублей. Если же она откажет, компания может потерять 150 млн. рублей. По оценкам главного инженера, существует 60% шансов, что новая производственная линия откажет. Можно создать экспериментальную установку, а затем уже решать, монтировать или нет производственную линию.
Эксперимент обойдется в 10 млн. рублей. Главный инженер считает, что существует 50% шансов, что экспериментальная установка будет работать. Если экспериментальная установка будет работать, то 90% шансов за то, что смонтированная производственная линия также будет работать. Если же экспериментальная установка не будет работать, то только 20% шансов за то, что производственная линия заработает. Следует ли строить экспериментальную установку? Следует ли монтировать производственную линию? Какова ожидаемая стоимостная оценка наилучшего решения?
В узле F возможны исходы «линия работает» с вероятностью 0,4 (что приносит прибыль 200) и «линия не работает» с вероятностью 0.6 (что приносит убыток —150) => оценка узла F: EMV(F) = 0,4х200 4- 0,6х(-150) = -10. Это число мы пишем над узлом F.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
В узле 4 мы выбираем между решением «монтируем линию» (оценка этого решения EMV(F) = —10) и решением ♦ не монтируем линию» (оценка этого решения 
Эту оценку мы пишем над узлом 4, а решением «монтируем линию» отбрасываем и зачеркиваем.
. Поэтому в узле 2 отбрасываем возможное решение «не монтируем линию». 
Поэтому в узле 3 отбрасываем возможное решение «монтируем линию».
EMV(A) « 0,5×165 4- 0,5×0 — 10 = 72,5.
EMV(l) = max = max = 72,5 = = EMV(A). Поэтому в узле 1 отбрасываем возможное решение «не строим установку».
Ожидаемая стоимостная оценка наилучшего решения равна 72,5 млн. рублей. Строим установку. Если установка работает, то монтируем линию. Если установка не работает, то линию монтировать не надо.
Задача 2.
Предприниматель провел анализ, связанный с открытием магазина. Если он откроет большой магазин, то при благоприятном состоянии рынка получит прибыль 60 млн. рублей, при неблагоприятном — понесет убытки 40 млн. рублей. Маленький магазин принесет ему 30 млн. рублей прибыли при благоприятном состоянии рынка и 10 млн. рублей убытков при неблагоприятном. Возможность благоприятного и неблагоприятного состояния рынка он оценивает одинаково. Исследование рынка, которое может провести специалист, обойдется предпринимателю в 5 млн. рублей. Специалист считает, что с вероятностью 0,6 состояние рынка окажется благоприятным. В то же время при положительном заключении состояние рынка окажется благоприятным лишь с вероятностью 0,9. При отрицательном заключении с вероятностью 0,12 состояние рынка может оказаться благоприятным. Используйте дерево решений для того, чтобы помочь предпринимателю принять решение. Следует ли заказать проведение обследования состояния рынка? Следует ли открыть большой магазин? Какова ожидаемая стоимостная оценка наилучшего решения?
Пример 3.
Компания рассматривает вопрос о строительстве завода. Возможны три варианта действий.
А. Построить большой завод стоимостью 
= 700 тысяч долларов. При этом варианте возможны большой спрос (годовой доход в размере 
= 280 тысяч долларов в течение следующих 5 лет) с вероятностью 
= 0,8 и низкий спрос (ежегодные убытки 
= 80 тысяч долларов) с вероятностью 
= 0,2.
Б. Построить маленький завод стоимостью 
= 300 тысяч долларов. При этом варианте возможны большой спрос (годовой доход в размере 
= 180 тысяч долларов в течение следующих 5 лет) с вероятностью = 0,8 и низкий спрос (ежегодные убытки 
= $5 тысяч долларов) с вероятностью = 0,2.
В. Отложить строительство завода на один год для сбора дополнительной информации, которая может быть позитивной или негативной с вероятностью 
= 0,7 и 
= 0,3 соответственно. В случае позитивной информации можно построить заводы по указанным выше расценкам, а вероятности большого и низкого спроса меняются на 
= 0,9 и 
= 0,1 соответственно. Доходы на последующие четыре года остаются прежними. В случае негативной информации компания заводы строить не будет.
Все расчеты выражены в текущих ценах и не должны дисконтироваться. Нарисовав дерево решений, определим наиболее эффективную последовательность действий, основываясь на ожидаемых доходах.
Ожидаемая стоимостная оценка узла 
.
Поэтому в узле 2 отбрасываем возможное решение «большой завод».
Поэтому в узле 1 выбираем решение «маленький завод». Исследование проводить не нужно. Строим маленький завод. Ожидаемая стоимостная оценка этого наилучшего решения равна 365 тысяч долларов.
Источник