Граф дерево свойство деревьев

Дерево (граф)

В теории графов, дерево — связный (ориентированный или неориентированный) граф, не содержащий циклов (для любой вершины есть один и только один способ добраться до любой другой вершины). Древовидная структура — тип организации, в котором каждый объект связан с хотя бы одним другим.

Формально дерево определяется как конечное множество T одного или более узлов со следующими свойствами:

Связанные определения

• Степень узла — количество поддеревьев узла
• Концевой узел (лист) — узел со степенью нуль.
• Узел ветвления — неконцевой узел.
• Уровень узла определяется рекурсивным образом:

1. Уровень корня дерева T равен нулю
2. Уровень любого другого узла на единицу выше, чем уровень корня ближайшего поддерева дерева T , содержащего данный узел.

• Дерево с отмеченной вершиной назывется корневым деревом.
  • m -й ярус узла T — множество узлов дерева, на уровне m от корня дерева.
  • частичный порядок на вершинах: , если вершины u и v различны и вершина u лежит на (единственной!) элементарной цепи, соединяющей корень с вершиной v .
  • корневое поддерево с корнем v — подграф

  Следующая теорема устанавливает, что два из четырех свойств – связность, ацикличность, древовидность и субцикличность – характеризуют граф как дерево.

  1. Для – графа следующие утверждения эквивалентны:
     1. – дерево;
     2. Любые две несовпадающие вершины графа соединяет единственная простая цепь;
     3. – связный граф, и любое ребро есть мост;
     4. – связный граф и древовидный;
     5. – ациклический граф (лес) и древовидный;
     6. – ациклический граф (лес) и субцикличекий;
     7. – связный, субциклический и неполный, ;
     8. – древовидный и субциклический, исключая и ;
  (1->2): Если – дерево, то любые две его несовпадающие вершины соединяет единственная простая цепь. От противного. Пусть существуют две цепи (см. рис.). Тогда — простой цикл. (2->3): Если любые две несовпадающие вершины графа соединяет единственная простая цепь, то – связный граф, и любое ребро есть мост. Имеем: (число компонент связности). Далее от противного. Пусть ребро — не мост. Тогда в концы этого ребра связаны цепью. Само ребро в исходном графе – вторая цепь, что противоречит условию. (3->4): Если – связный граф, и любое ребро есть мост, то – связный и древовидный (). Индукция по (числу вершин). Если , то (число ребер). Пусть равенство выполняется для всех графов с числом вершин меньше . Докажем, что оно выполняется и для вершин. Удалим из ребро , являющееся мостом. Получим две компоненты связности и , для которых верно равенство . Т.е. , . Тогда . (4->5): Если – связный и древовидный (), то – ациклический граф (лес) и древовидный (). От противного. Пусть есть цикл с вершинами и ребрами. Остальные вершин связаны с этим циклом ребрами, т.к. граф связный. Следовательно, , что противоречит условию . Остальное без док-ва.

  1. Ориентированные деревья

  1. Ориентированным деревом (или ордеревом, или корневым деревом) называется орграф со следующими свойствами:
  • существует единственный узел, в который не входит ни один другой узел. Он называется корнем ордерева;
  • во все остальные узлы входит только по одному узлу;
  • каждый узел достижим из корня.
  1. Ордерево обладает следующими свойствами:

  1. ; 2. если в ордереве отменить ориентацию ребер, то получится обычное дерево; 3. для каждого узла существует единственный путь, ведущий в этот узел из корня; 4. подграф, определяемый множеством узлов, достижимых из узла , является ордеревом с корнем . Это ордерево называется поддеревом узла .

  1. Концевая вершина ордерева называется листом. Путь из корня в лист называется ветвью. Длина наибольшей ветви ордерева называется высотой. Уровень узла ордерева – это расстояние отт корня до узла. Сам корень имеет уровень 0. Узлы одного уровня образуют ярус дерева.

  Источник

  Лекция 11

  Дерево. Лес (ациклический граф). Остовный подграф. Остов. Взвешенный граф. Минимальный остов. Кодирование деревьев.

  Базовые понятия и утверждения

  1. Определение и основные свойства деревьев.

  Определение. Граф называется деревом, если он связный и в нем нет циклов.

  Одноэлементный граф, т.е. граф, имеющий одну вершину и не имеющий ребер, также считается деревом.

  Граф называется лесом (или ациклическим графом), если в нем нет циклов. Очевидно, что каждая компонента связности леса — дерево.

  Пример 1. Граф (рис. 3.19) не является ни деревом, ни лесом. Граф (рис. 3.20) — дерево. Граф (рис. 3.21) — лес, состоящий из четырех деревьев.

  

  

  

  

  Пример 2. Представьте диаграммами все (с точностью до изоморфизма) деревья с пятью вершинами.

  ◄ Имеется три различных (с точностью изоморфизма) дерева с пятью вершинами (рис. 3.22 — 3.24). ►

  

  

  

  

  Деревья обладают рядом характеристических свойств, по наличию или отсутствию каждого их которых в рассматриваемом графе можно определить, является граф деревом или нет. Перечислим эти свойства:

  1) граф — дерево в том и только в том случае, когда в нем нет циклов и ;

  2) граф — дерево в том и только в том случае, когда он связный и ;

  

  3) граф — дерево в том и только в том случае, когда он связный, и каждое его ребро является мостом;

  4) граф — дерево в том и только в том случае, когда любые две вершины графа можно соединить простой цепью, притом единственной;

  

  5) граф — дерево в том и только в том случае, когда в нем нет циклов и добавление к нему нового ребра приводит к образованию единственного простого цикла.

  Также приведем одно из характеристических свойств леса: граф , имеющий компонент связности, является лесом в том и только в том случае, когда .

  2. Остовы графа. Подграф графа называется остовным подграфом, если множество его вершин совпадает с множеством вершин графа .

  Остовом обыкновенного графа называется его остовный подграф, являющийся деревом.

  Пусть — связный граф. Если содержит хотя бы один цикл, то удалив из графа некоторое ребро этого цикла, мы уменьшим число циклов графа по крайней мере на единицу, сохранив при этом его связность. Ясно, что, последовательно разрушая циклы данного графа, можно прийти к остову графа. Поскольку дерево с вершинами имеет ровно ребро, то для получения остова нужно удалить из графа ребро, т.е. число ребер, равное цикломатическому числу связного графа .

  Пусть теперь — произвольный граф с компонентами связности. Из каждой компоненты связности этого графа удалим ребро так, чтобы получился остов этой компоненты. В результате получим некоторый остовный подграф графа . Подсчитаем общее число ребер, которое нам пришлось для этого удалить. Сложив равенства , , получим:

  

  .

  Таким образом, чтобы получить остовный подграф, нужно, последовательно разрушая циклы графа, удалить из него число ребер, равное его цикломатическому числу.

  Пример 3. Построим остов графа , диаграмма которого изображена на рис. 3.25. Удалим из графа ребро ; получим граф (рис. 3.26). Из графа удалим ребро ; получим граф (рис. 3.27). Из графа удалим ребро ; получим граф (рис. 3.28), который является одним из остовов графа .

  Источник

  Читайте также:  Чем можно заменить наждачную бумагу при обработке дерева