Граф является деревом тогда

Содержание

Граф является деревом тогда
3.9. Деревья и леса
Важнейшие классы графов

Граф является деревом тогда

Графы представляют собой наиболее абстрактную структуру, с которой приходится сталкиваться в теории ЭВМ (computer science). Графы используются для описания алгоритмов автоматического проектирования, в диаграммах машины конечных состояний, при решении задач маршрутизации потоков и т.д. Любая система, предполагающая наличие дискретных состояний или наличие узлов и переходов между ними может быть описана графом. Соединения между узлами графа называются ребрами. Если узлы графа не нумерованы, то ребра являются неориентированными. У графа с нумерованными узлами ребра ориентированы. Ребрам могут быть присвоены определенные веса или метки. На рис. 10.21.1А и 10.21.1Б приведены примеры обычного и ориентированного графа.

Рис. 10.21.1 Примеры неориентированного и ориентированного графов (А и Б)

Введем более строгие определения. Граф представляет собой структуру П = , в которой V представляет собой конечный набор узлов, а E Н V Е V представляет собой конечный набор ребер. Для ориентированного графа E Н V ╢ V — конечный набор ориентированных ребер. Ребром может быть прямая или кривая линия. Ребра не могут иметь общих точек кроме вершин (узлов) графа. Замкнутая кривая в E может иметь только одну точку из множества V, а каждая незамкнутая кривая в E имеет ровно две точки множества V. Если V и E конечные множества, то и граф им соответствующий называется конечным . Граф называется вырожденным , если он не имеет ребер. Параллельными ребрами графа называются такие, которые имеют общие узлы начала и конца.

Графы отображаются на плоскости набором точек и соединяющих их линий или векторов. При этом грани могут отображаться и кривыми линиями, а их длина не играет никакой роли.

Граф G называется плоским , если его можно отобразить в плоскости без пересечения его граней.

Очертанием графа (face) считается любая топологически связанная область, ограниченная ребрами графа.

Неориентированный граф G = называется связанным , если для любых двух узлов x,y О V существует последовательность ребер из набора E, соединяющий x и y.

Граф G связан тогда и только тогда, когда множество его вершин нельзя разбить на два непустых подмножества V1 и V2 так, чтобы обе граничные точки каждого ребра находились в одном и том же подмножестве.

Граф G называется k-связным (k Ё 1), если не существует набора из k-1 или меньшего числа узлов V` Н V, такого, что удаление всех узлов V` и сопряженных с ними ребер, сделают граф G несвязанным.

Теорема Менгера: граф G является k-связанным тогда и только тогда, когда любые два различные узла x и y графа G соединены по крайне мере k путями, не содержащими общих узлов.

k-связанные графы представляют особый интерес для сетевых приложений. Определенную проблему составляет автоматическое отображение графа на экране или бумаге. Кроме того, для многих приложений (например, CAD) все узлы графа должны совпадать с узлами технологической сетки. Возникают и другие ограничения, например необходимость размещения всех узлов на прямой линии. В этом случае ребра графа могут представлять собой кривые линии, дуги или ломаные линии, состоящие из отрезков прямых. Смотри, например, рисунок 10.21.2.

Граф слева безусловно легче воспринять, чем граф справа, хотя они эквивалентны. Существует ряд алгоритмов, позволяющих определить, является ли граф плоским. Так граф на рис. 10.21.3 на первый взгляд не является плоским (ведь его ребра пересекаются в нескольких местах). Но он может быть перерисован (см. рис. 10.21.3а), после чего его плоскостность уже не подвергается сомнению.

Источник

3.9. Деревья и леса

Каждая компонента связности леса – дерево, следовательно, для -связного леса существует дизъюнктное разбиение на деревьев.

Пример 1. Граф не является деревом, не является лесом. Граф — дерево. Граф — лес.

Лемма. Если граф – дерево, то каждое его ребро является мостом.

Доказательство.В параграфе 3.6 было доказано, что если ребро графа не содержится ни в одном цикле, то оно является мостом. Дерево граф ациклический, следовательно, каждое его ребро мост.■

Теорема (основная теорема о деревьях). Для графа следующие утверждения равносильны:

Граф— дерево.
ациклический и.
связный и.
связный и каждое его ребро является мостом.
Любые две вершины графаможно соединить, притом единственной, простой цепью.
ациклический, и добавление к нему нового ребра приводит к образованию единственного простого цикла.

Доказательство.Доказательство проведем по следующей схеме:. . Индукцией по числу ребер проверим, что для любого дерева выполняется равенство. Базис индукции.Пусть, тогда, и равенствовыполнено. Индуктивный переход.Предположим, что требуемое равенство выполняется для любого дерева с числом ребер меньшим либо равным. Докажем, что оно справедливо и для дерева с числом ребер. Удалим из графапроизвольное ребро .Согласно лемме, ребро — мост. По теореме о мостах. Следовательно, графсостоит из двух компонент связности,и , каждая из которых – дерево с числом ребер меньшим либо равным. Для каждой компоненты связности справедливо предположение индукции, т.е. выполнены равенстваи. Складывая эти равенства почленно, получим:. Или. . Докажем, что если граф ациклический и, то граф связный. Будем рассуждать от противного, т.е. предположим, что найдется ациклический граф, число ребер которого на единицу меньше числа вершин, который связным не является. Пусть,, — число компонент связности графа. Каждая компонента связности — дерево. Переходуже доказан, следовательно, для каждой компоненты связностиможем записать:. Просуммировав по, получим: . Или . Так как , то пришли к противоречию с условием. Следовательно, наше предположение было неверным. . Докажем, что если граф связный и, то каждое его ребро является мостом. Будем рассуждать от противного. Предположим, что найдется связный граф, такой что, в котором есть ребро , не являющееся мостом. Тогда графсвязный и . То есть для связного графа выполняется условие, что противоречит следствию теоремы о знаке цикломатического числа (см. параграф 3.7). . Из связности графа вытекает, что любые две его вершины можно соединить маршрутом, и, следовательно, простой цепью. Докажем, что эта простая цепь единственна. Доказательство проведем от противного. Предположим, что найдется связный граф, все ребра которого — мосты, такой, что в нем есть две вершиныи , соединенные двумя различными простыми цепямии. Поскольку цепииразличны, то имеется ребро , входящее в цепьи не входящее в цепь. Пусть и— фрагменты цепи. Склеим инвертированный фрагмент, цепьи инвертированный фрагмент. Получим на графе— маршрут, не содержащий ребра . Из этого маршрута выделим-простую цепь и склеим ее с цепью . В результате получим цикл, содержащий , а это противоречит тому, что ребро — мост. . Пусть для графавыполнено условие 5. Проверим сначала, что граф не содержит циклов. Будем рассуждать от противного. Предположим, что на графеимеется цикл. Пусть — одно из ребер этого цикла и вершиныи — концы этого ребра. Тогда— простая цепь, соединяющая вершиныи . Обозначим ее. Удалим из графаребро . Поскольку ребра циклов не являются мостами и графсвязный, то графтакже будет связным. Следовательно, на графесуществует— маршрут. Выделим из этого маршрута-простую цепь и обозначим ее. Таким образом мы показали, что на графеесть две простые цепи, соединяющие вершиныи :и, что противоречит условию 5. Покажем, что добавление к графу нового ребра приводит к образованию, притом единственного, цикла. Возьмем на графедве произвольные вершиныи и соединим их новым ребром; получим граф. По условию на графе имеется единственная простая-цепь. Склеив ее с цепью, получим на графепростой цикл. Докажем, что этот цикл единственный. Предположим, что при добавлении ребраобразовалось два простых цикла. Тогда, удалив из каждого из них ребро, получим на графедве простые-цепи, а наличие двух -цепей противоречит условию. . Будем рассуждать от противного, т.е. предположим, что существует несвязный граф, для которого выполнено условие 6. Возьмем на этом графе две вершины, лежащие в разных компонентах связности, и соединим их ребром. В результате образуется граф, для которого реброявляется мостом и, следовательно, не содержится ни в одном цикле. Таким образом, добавление ребране привело к образованию цикла, что противоречит условию 6.■ Следствие 1.Неодноэлементное дерево имеет не менее двух висячих вершин.Доказательство.Рассмотрим произвольное дерево, имеющее не менее двух вершин. Представим множество его вершинв виде, где— множество висячих вершин этого дерева. Тогда . Но , поэтому . Откуда . ■ Следствие 2.Если граф—-связный лес, то. Последнее следствие рекомендуем доказать самостоятельно.

Источник

Важнейшие классы графов

Деревом называется связный граф , не имеющий циклов. В графе без циклов, таким образом, каждая компонента связности является деревом. Такой граф называют лесом .

P_<n data-lazy-src=

Из теоремы 2 «Маршруты, связность, расстояния» следует, что во всяком дереве, в котором не меньше двух вершин, имеется вершина степени 1. Такие вершины называют висячими вершинами , или листьями . В действительности легко доказать, что в каждом дереве не меньше двух листьев, а цепь »/> — пример дерева, в котором точно два листа.

В следующих двух теоремах устанавливаются некоторые свойства деревьев.

Теорема 1. Граф с ребрами является деревом тогда и только тогда, когда он удовлетворяет любым двум из следующих трех условий:

m=n-1

(1) связен;
(2) не имеет циклов;
(3) .

Первые два условия вместе составляют определение дерева. Покажем, что выполнение любых двух из условий (1)-(3) влечет за собой выполнение третьего.

(1) и (2) $\Rightarrow$ (3). Индукция по числу вершин. При n=1 утверждение очевидно. При $n\ge 2$ в дереве имеется хотя бы один лист. Если из дерева удалить лист, то снова получится дерево, так как циклов не появится, а связность, очевидно, сохранится. В этом новом дереве n-1 вершин и, по предположению индукции, n-2 ребра. Следовательно, в исходном дереве было n-1 ребро.

(2) и (3) $\Rightarrow$ (1). Пусть в графе, не имеющем циклов, n-1 ребро, а его компонентами связности являются G_<1 data-lazy-src= ,G_\ldots G_»/>, причем вершин, $i=1\ldots k$ . Каждая компонента является деревом, поэтому, как доказано выше, число ребер в равно n_-1 , а всего ребер в графе $\suml_<i=1 data-lazy-src=$ ^\left(n_ -1\right) =n-k=n-1″/>. Значит, $\Rightarrow$ (2). Рассмотрим связный граф с n-1 ребром. Если бы в нем был цикл, то, удалив любое цикловое ребро, мы получили бы связный граф с меньшим числом ребер. Можно продолжать такое удаление ребер до тех пор, пока не останется связный граф без циклов, то есть дерево. Но ребер в этом дереве было бы меньше, чем n-1 , а это противоречит доказанному выше.

Теорема 2. Если — дерево, то

в любая пара вершин соединена единственным путем;
при добавлении к любого нового ребра образуется цикл;
при удалении из любого ребра он превращается в несвязный граф .

Существование пути между любыми двумя вершинами следует из связности дерева. Допустим, что в некотором дереве существуют два различных пути, соединяющих вершины и . Начальные отрезки этих путей совпадают (оба пути начинаются в одной и той же вершине ). Пусть — последняя вершина этого совпадающего начала, а после в одном пути следует вершина y_<1 data-lazy-src= »/>, а в другом — вершина $\left(x,y_<1 data-lazy-src=$ \right)»/>. Если его удалить из графа, то в оставшемся подграфе вершины будут соединимыми — соединяющий их маршрут можно построить так: взять отрезок первого пути от y_<1 data-lazy-src= »/> до до , взятый в обратном порядке. Но это означает, что ребро $\left(x,y_<1 data-lazy-src=$ \right)»/> не является перешейком. Однако из теоремы 4 «Маршруты, связность, расстояния» следует, что в дереве каждое ребро является перешейком. Этим доказано утверждение 1). Утверждения 2) и 3) следуют из 1).

Отметим, что единственный путь , соединяющий две вершины дерева, всегда простой (если путь не является простым, в нем обязательно содержится цикл).

Источник