Корень дерева графа это

Лекция № 14. Деревья

1. Основные определения

Дерево – связный граф без циклов. Лес (или ациклический граф) – неограф без циклов. Компонентами леса являются деревья. Теорема 14.1.Для неографаGсnвершинами без петель следующие условия эквивалентны:

1. G– дерево;
2. G– связной граф, содержащийn– 1 ребро;
3. G– ациклический граф, содержащийn– 1 ребро;
4. Любые две несовпадающие вершины графаGсоединяет единственная цепь;
5. G– ациклический граф, такой, что если в него добавить одно ребро, то в нем появится ровно один цикл.

Теорема 14.2.НеографGявляется лесом тогда и только тогда, когда коранг графаv(G)=0. Висячая вершина в дереве – вершина степени 1. Висячие вершины называются листьями, все остальные – внутреннимивершинами. Если в дереве особо выделена одна вершина, называемая корнем, то такое дерево называется корневым, иначе – свободным. Корневое дерево можно считать орграфом с ориентацией дуг из корня или в корень. Очевидно, что для любой вершины корневого дерева, кроме корня, . Для корня, для листьев. Вершины дерева, удаленные на расстояние k (в числе дуг) от корня, образуют k-й ярус (уровень) дерева. Наибольшее значение k называется высотой дерева. Если из какой-либо вершины корневого дерева выходят дуги, то вершины на концах этих дуг называют сыновьями (в английской литературе – дочери (daughter)).

1. Центроид дерева

Ветвь к вершине v дерева – это максимальный подграф, содержащий v в качестве висячей вершины. Вес вершиныk – наибольший размер ее ветвей. Центроид (или центр масс) дерева C – множество вершин с наименьшим весом: C = v| c(v) = >. Вес любого листа дерева равен размеру дерева. Высота дерева с корнем, расположенным в центроиде, не больше наименьшего веса его вершин. Свободное дерево порядка n с двумя центроидами имеет четное количество вершин, а вес каждого центроида равен n/2. Теорема 14.3 (Жордана).Каждое дерево имеет центроид, состоящий из одной или двух смежных вершин.Пример 14.1. Найти наименьший вес вершин дерева, изображенного на рис. 14.1, и его центроид. Рис. 14.1 Решение. Очевидно, что вес каждой висячей вершины дерева порядка n равен n – 1. Висячие вершины не могут составить центроид дерева, поэтому исключим из рассмотрения вершины 1, 2, 4, 6, 12, 13 и 16. Для всех остальных вершин найдем их вес, вычисляя длину (размер) их ветвей. Число ветвей вершины равно ее степени. Вершины 3, 5 и 8 имеют по две ветви, размеры которых равны 1 и 14. К вершине 7 подходят четыре ветви размером 1, 2, 2 и 10. Таким образом, ее вес . Аналогично вычисляются веса других вершин:,,. Минимальный вес вершин равен 8, следовательно, центроид дерева образуют две вершины с таким весом: 11 и 15.

1. Десятичная кодировка

Деревья представляют собой важный вид графов. С помощью деревьев описываются базы данных, деревья моделируют алгоритмы и программы, их используют в электротехнике, химии. Одной из актуальных задач в эпоху компьютерных и телекоммуникационных сетей является задача сжатия информации. Сюда входит и кодировка деревьев. Компактная запись дерева, полностью описывающая его структуру, может существенно упростить как передачу информации о дереве, так и работу с ним. Существует множество способов кодировки деревьев. Рассмотрим одну из простейших кодировок помеченных деревьев с выделенным корнем – десятичную. Кодируя дерево, придерживаемся следующих правил.

1. Кодировка начинается с корня и заканчивается в корне.
2. Каждый шаг на одну дугу от корня кодируется единицей.
3. В узле выбираем направление на вершину с меньшим номером.
4. Достигнув листа, идем назад, кодируя каждый шаг нулем.
5. При движении назад в узле всегда выбираем направление на непройденную вершину с меньшим номером.

Кодировка в такой форме получается достаточно компактной, однако она не несет в себе информации о номерах вершин дерева. Существуют аналогичные кодировки, где вместо единиц в таком же порядке проставляются номера или названия вершин. Есть деревья, для которых несложно вывести формулу десятичной кодировки. Рассмотрим, например, графы-звезды , являющиеся полными двудольными графами, одна из долей которых состоит из одной вершины. Другое обозначение звезд –. На рис. 14.2 показаны звезды, а также приведены их двоичные и десятичные кодировки. Корень дерева располагается в центральной вершине звезды. Легко получить общую формулу: . (14.1) Рис. 14.2 Если корень поместить в любой из висячих вершин, то код такого дерева будет выражаться большим числом. Более того, существует зависимость. Аналогично рассматриваются и цепи (рис. 14.3). Цепи обозначаются как. Рис. 14.3 В звездах только два варианта расположения корня с различными десятичными кодировками. В цепи же число вариантов кодировок в зависимости от положения корня растет с увеличением n. Рассмотрим самый простой вариант, расположив корень в концевой вершине (листе). Для получим двоичную кодировку 10 и десятичную 2, для– 1100 и 12, для– 111000 и 56, для– 11110000 и 240. Общая формула для десятичной кодировки цепи с корнем в концевой вершине имеет вид . (14.2) Пример 14.2. Записать десятичный код дерева, изображенного на рис. 14.4, с корнем в вершине 3. Рис. 14.4 Решение. На основании правила кодировки, двигаясь по дереву, проставим в код единицы и нули. При движении из корня 3 к вершине 7 проходим четыре ребра. В код записываем четыре единицы: 1111. Возвращаясь от вершины 7 к вершине 2 (до ближайшей развилки), проходим три ребра. Записываем в код три нуля: 000. От вершины 2 к 5 и далее к 8 (меньший номер): 11; от 8 назад к 5 и от 5 к 9: 01; от 9 к корню 3: 000. И, наконец, от 3 к 6 и обратно: 10. В итоге, собирая все вместе, получим двоичный код дерева: 1 111 000 110 100 010. Разбивая число на тройки, переводим полученное двоичное представление в восьмеричное. Получаем . Затем переводим это число в десятичное:.

Для продолжения скачивания необходимо пройти капчу:

Источник

Важнейшие классы графов

Следовательно, любые две центральные вершины смежны, а так как в дереве не может быть трех попарно смежных вершин, то в нем не больше двух центральных вершин.

Корневые деревья

Часто в дереве особо выделяется одна вершина , играющая роль своего рода «начала отсчета». Дерево с выделенной вершиной называют корневым деревом , а саму эту вершину — корнем . Из дерева с вершинами можно, таким образом, образовать различных корневых деревьев.

При графическом изображении корневого дерева обычно придерживаются какого-нибудь стандарта. Один из наиболее распространенных состоит в следующем. Возьмем на плоскости семейство параллельных прямых с равными расстояниями между соседними прямыми. Изобразим корень точкой на одной из этих прямых, смежные с корнем вершины — точками на соседней прямой , вершины, находящиеся на расстоянии 2 от корня, — на следующей, и т.д. Ребра изобразим отрезками прямых. Ясно, что вершины на каждой прямой можно разместить так, чтобы ребра не пересекались. Пример нарисованного таким образом корневого дерева показан на рис. 3.2 (корень обведен кружком). Чаще, впрочем, дерево рисуют корнем вверх, а не вниз.

Иногда бывает полезно ребра корневого дерева ориентировать так, чтобы в каждую вершину вел ориентированный путь из корня (для дерева на рис. 3.2 это означает, что каждое ребро ориентируется снизу вверх). Такое ориентированное корневое дерево будем называть исходящим деревом. В исходящем дереве каждая вершина , кроме корня, является концом единственного ребра. Если в исходящем дереве имеется ребро , то вершину называют отцом вершины , а вершину — сыном вершины . Естественный и для многих целей удобный способ задания корневого дерева состоит в указании для каждой вершины ее отца. При этом иногда считают, что корень приходится отцом самому себе — это равносильно добавлению петли при корне.

Если в исходящем дереве имеется ориентированный путь из вершины в вершину , то говорят, что — предок , а — потомок . В частности, каждая вершина является предком и потомком самой себя. Множество всех предков вершины порождает ориентированный путь из корня в . Множество всех потомков вершины порождает исходящее дерево с корнем в , оно называется ветвью дерева в вершине .

Высотой корневого дерева называется эксцентриситет его корня. Если мы хотим превратить некоторое дерево в корневое и притом минимальной высоты, то в качестве корня следует взять центральную вершину.

Каркасы

Пусть — обыкновенный граф . Его каркасом называется остовный подграф , в котором нет циклов, а области связности совпадают с областями связности графа . Таким образом, каркас связного графа — дерево , а в общем случае — лес .

У любого графа есть хотя бы один каркас. Действительно, если в нет циклов, то он сам является собственным каркасом. Если же циклы есть, то можно удалить из графа любое ребро , принадлежащее какому-нибудь циклу. Такое ребро не является перешейком, поэтому при его удалении области связности не изменятся. Продолжая действовать таким образом, после удаления некоторого количества ребер получим остовный подграф , в котором циклов уже нет, а области связности — те же, что у исходного графа, то есть этот подграф и будет каркасом. Можно даже точно сказать, сколько ребер необходимо удалить для получения каркаса. Если в графе вершин, ребер и компонент связности , то в каркасе будет тоже вершин и компонент связности . Но в любом лесе с вершинами и компонентами связности имеется ровно ребер. Значит, удалено будет ребер. Это число называется цикломатическим числом графа и обозначается через .

Если в графе есть циклы, то у него больше одного каркаса. Определить точное число каркасов связного графа позволяет так называемая матричная теорема Кирхгофа. Приведем ее без доказательства. Для графа определим матрицу — квадратную матрицу порядка с элементами

Теорема 4 (матричная теорема Кирхгофа). Если — связный граф с не менее чем двумя вершинами, то алгебраические дополнения всех элементов матрицы равны между собой и равны числу каркасов графа .

Источник