Лес деревьев структуры данных

3.3. Бинарные деревья

3.3.1. Определение. Представления бинарных деревьев

Бинарное (двоичное) дерево — особый вид дерева, в котором каждый узел имеет не более двух поддеревьев, причем в случае одного поддерева следует различать левое и правое поддерево. При изображении бинарных деревьев левого и правого сына различают по наклону соединительной линии (влево или вправо). На рис.3.4 показаны два различных бинарных дерева. Интересно отметить, что если рассматривать данные структуры как обычные упорядоченные деревья, то они являются полностью идентичными (в упорядоченном дереве единственный сын всегда первый, т. е. левый потомок). Это говорит о том, что бинарные деревья не являются частным случаем упорядоченого дерева, а представляют собой особый вид деревьев.

Рис.3.5. Два различных бинарных дерева

Приведем формальное рекурсивное определение бинарного дерева [8].

Бинарное дерево — конечное множество узлов, которое является пустым или состоит из корня и двух непересекающихся бинарных деревьев, которые называются левым и правым поддеревьями данного корня.

Обратим внимание на то, что бинарное дерево может быть пустым, в отличие от обычного дерева, которое всегда содержит хотя бы один узел (однако лес может быть пустым).

Бинарное дерево может быть представлено и в форме скобочного выражения. Аналогично обычному корневому дереву, для бинарного дерева также возможен различный порядок перечисления узлов в скобочном представлении. Например, левое скобочное представление непустого бинарного дерева рекурсивно определяется так:

Иногда при записи левое и правое поддерево разделяют запятыми, но чаще пробелом.

Левое или правое поддерево или оба вместе (для листьев) могут быть пустыми, при этом для пустых деревьев часто используется специальное обозначение . Чтобы сократить запись, в ней разрешается опустить правое поддерево, если оно пустое, а для листьев опустить оба пустых поддерева (но нельзя опускать пустое левое поддерево, иначе по такой записи нельзя будет правильно восстановить изображение бинарного дерева!). Так, деревьям, изображенным на рис.3.5, соответствуют различные левые скобочные записи в сокращенной форме:

Бинарные деревья, у которых все узлы, кроме листьев, имеют сторого по два сына, называются строго бинарными. Деревья, изображенные на рис. 3.5, не являются строго бинарными.

3.3.2. Математические свойства бинарных деревьев

Бинарные деревья, как абстрактные математические объекты, обладают рядом интересных свойств, которые могут пригодиться при анализе различных алгоритмов, поэтому остановимся подробнее на этом вопросе.

На любом уровне n бинарное дерево может содержать от 1 до 2 n узлов. Число узлов, приходящееся на уровень, является показателем плотности дерева. На рис. 3.6 дерево А содержит 8 узлов при высоте 3, в то время как дерево B содержит 5 узлов при высоте 4.

Последний случай является особой формой, называемой вырожденным (degenerate) деревом, у которого есть единственный лист (e) и каждый внутренний узел имеет только одного сына. Вырожденное дерево можно считать аналогом линейного связного списка, его высота равна количеству узлов без единицы. Это максимально возможное значение для высоты бинарного дерева. В большинстве алгоритмов, использующих бинарные деревья, вырожденное дерево — наихудший случай при оценке производительности.

Рис.3.6. Бинарные деревья различной плотности

Наоборот, деревья с большой плотностью очень важны в качестве структур данных, так как они содержат пропорционально больше элементов вблизи корня, т.е. с более короткими путями от корня.

Наивысшей степенью плотности обладают полные бинарные деревья, которые имеют 2 k узов на каждом уровне k.

Рис.3.7. Полное и почти полное бинарные деревья

На рис. 3.7, а показано полное бинарное дерево высоты два. Обратим внимание на такие факты.

На нулевом уровне имеется 2 0 узлов, на первом — 2 1 , на втором — 2 2 и т.д. На первых k-1 уровнях количество узлов составляет

1 + 2 + 4 + . + 2 k-1 = 2 k -1

На уровне k количество узлов 2 k , т. е. ровно на один больше.

Из этого следует, что в полном бинарном дереве количество внутренних узлов на единицу меньше количества листьев. Зная количество листьев, легко определить и высоту h полного бинарного дерева:

h=log ₂ n, где n — количество листьев

h= log ₂ (N+1)-1, где N —количество узлов полного бинарного дерева.

Для полного бинарного дерева приведенные формулы дают точное значение, сответствующее минимальному значению высоты при таком количестве узлов. Если количество узлов дерева такое, что невозможно построить полное бинарное дерево, для получения бинарного дерева минимально возможной высоты необходимо заполнять все уровни дерева, кроме последнего, максимально возможным количеством узлов. Если оставшиеся узлы располагать на последнем уровне по порядку, начиная слева, то полученное таким образом бинарное дерево называют почти полным. На рис. 3.7, б изображено пости полное бинарное дерево.

Полные и почти полные бинарные деревья обладают еще одним интересным свойством — если их узлы нумеровать, начиная с единицы, сверху вниз и слева направо, то левому сыну всегда будет соответствовать код, в два раза больше кода его родителя, а правому сыну — код, на единицу больший, чем код код левого сына (рис.3.8). Номер корня всегда равен 1, его левый потомок получает номер 2, правый — номер 3. Левый потомок узла 2 получит номер 4, а правый — 5, левый потомок узла 3 получит номер 6, правый — 7 и т.д. Такая схема нумерации используется при представлении деревьев с помощью массивов. К этой теме мы еще вернемся.

Рис.3.8. Нумерация узлов полного или почти полного бинарного дерева

По такой схеме можно нумеровать и узлы бинарных деревьев, которые не являются почти полными, поскольку в этом случае гарантируется уникальность каждого номера, если в процессе работы к дереву добавляются новые листья. Используя такой способ нумерации, можно реализовать древовидную структуру на основе массива. Такая реализация будет приведена в главе 4.

После анализа основных свойств бинарных деревьев можно снова вернуться к упорядоченным деревьям и лесам и проанализировать соответствие между этими структурами и бинарным деревом.

Источник

3. Деревья

Полезной нелинейной структурой данных является дерево (или лес).

3.1. Определения дерева, леса, бинарного дерева. Скобочное представление

Дадим формальное определение дерева, следуя [10].

Дерево – конечное множество Т, состоящее из одного или более узлов, таких, что

а) имеется один специально обозначенный узел, называемый корнем данного дерева;

б) остальные узлы (исключая корень) содержатся в m  0 попарно не пересекающихся множествах Т₁, Т₂, . Т_m, каждое из которых, в свою очередь, является деревом. Деревья Т₁, Т₂, . Т_m называются поддеревьями данного дерева.

При программировании и разработке вычислительных алгоритмов удобно использовать именно такое рекурсивное определение, поскольку рекурсивность является естественной характеристикой этой структуры данных.

Каждый узел дерева является корнем некоторого поддерева. В том случае, когда множество поддеревьев такого корня пусто, этот узел называется концевым узлом, или листом. Уровень узла определяется рекурсивно следующим образом: 1) корень имеет уровень 1; 2) другие узлы имеют уровень, на единицу больший их уровня в содержащем их поддереве этого корня. Используя для уровня узла а дерева T обозначение уровень (a, T), можно записать это определение в виде

где T_i – поддерево корня дерева T, такое, что a  T_i.

Говорят, что каждый корень является отцом корней своих поддеревьев и что последние являются сыновьями своего отца и братьями между собой. Говорят также, что узел n – предок узла m (а узел m – потомок узла n), если n – либо отец m, либо отец некоторого предка m.

Если в определении дерева существен порядок перечисления поддеревьев Т₁, Т₂, . Т_m, то дерево называют упорядоченным и говорят о «первом» (Т₁), «втором» (Т₂) и т. д. поддеревьях данного корня. Далее будем считать, что все рассматриваемые деревья являются упорядоченными, если явно не оговорено противное. Отметим также, что в терминологии теории графов определенное ранее упорядоченное дерево более полно называлось бы «конечным ориентированным (корневым) упорядоченным деревом».

Лес – это множество (обычно упорядоченное), состоящее из некоторого (быть может, равного нулю) числа непересекающихся деревьев. Используя понятие леса, пункт б в определении дерева можно было бы сформулировать так: узлы дерева, за исключением корня, образуют лес.

Традиционно дерево изображают графически, например так, как на рис. 3.1.

Error: Reference source not foundРис. 3.1. Графическое изображение дерева

В графическом представлении для изображения структуры дерева используется двухмерность рисунка. При машинной обработке часто удобнее использовать текстовое представление дерева. Например, таким представлением может быть так называемый уступчатый список. Здесь «двухмерность» проявляется за счет того, что текст разбит на строки и фиксируется позиция символа узла в строке. На рис. 3.2, а, б представлено в виде уступчатого списка дерево, изображенное на рис. 3.1.

Другой вид текстового (и принципиально одномерного) представления дерева  это так называемая скобочная запись (ср. с записью иерархических списков в 1.7). Определим скобочное представление дерева и леса:

a ▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓ а b i b ▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓

i ▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓ j j ▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓ c ▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓ c h h ▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓ d ▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓ d e e ▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓ f ▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓ f k k ▓▓▓▓▓▓▓ g ▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓ g

Рис. 3.2. Представление дерева: а – в виде уступчатого списка; б – в виде «упрощенного» уступчатого списка

В скобочном представлении дерево, изображенное на рис. 3.1, запишется как

(a (b (i) (j)) (c (h)) (d (e) (f (k)) (g))).

Наиболее важным типом деревьев являются бинарные деревья. Удобно дать следующее формальное определение. Бинарное дерево  конечное множество узлов, которое либо пусто, либо состоит из корня и двух непересекающихся бинарных деревьев, называемых правым поддеревом и левым поддеревом. Так определенное бинарное дерево не является частным случаем дерева. Например, бинарные деревья, изображенные на рис. 3.3, различны между собой, так как в одном случае корень имеет пустое правое поддерево, а в другом случае правое поддерево непусто. Если же их рассматривать как деревья, то они идентичны.

Рис. 3.3. Бинарные деревья из двух узлов

Определим скобочное представление бинарного дерева (БД):

Здесь пустое дерево имеет специальное обозначение  .

Например, бинарное дерево, изображенное на рис. 3.4, имеет скобочное представление

(a (b (d Λ (h Λ Λ)) (e Λ Λ)) (c (f (i Λ Λ) (j Λ Λ)) (g Λ (k (l Λ Λ) Λ)))).

Error: Reference source not foundError: Reference source not foundРис. 3.4. Бинарное дерево

Можно упростить скобочную запись бинарного дерева, исключив «лишние» знаки  по правилам:

Тогда, например, скобочная запись бинарного дерева, изображенного на рис. 3.4, будет иметь вид

(a (b (d  (h) (e)) (c (f (i) (j)) (g  (k (l))))).

Источник

Деревья

Дерево — это нелинейная иерархическая структура данных. Она состоит из узлов и ребер, которые соединяют узлы.

Зачем нужны деревья

Другие структуры данных, например, массивы, списки, стеки и очереди, линейные. Это значит, что данные в них хранятся последовательно. Когда мы выполняем любую операцию в линейной структуре данных, временная сложность растет с увеличением размера данных. В современном мире это не очень круто.

Разные древовидные структуры позволяют быстрее и легче получать доступ к данным, поскольку дерево — структура нелинейная.

Части дерева

• Узел — это объект, в котором есть ключ или значение и указатели на дочерние узлы.
  Узлы, у которых нет дочерних узлов, называют листами или терминальными узлами.
  Узлы, у которых есть хотя бы один дочерний узел, называются внутренними.
• Ребро связывает два узла.
• Корень — это самый верхний узел дерева. Его ещё иногда называют корневым узлом.

Другие понятия

• Высота узла — это максимальная длина пути от этого узла к самому нижнему узлу (листу).
• Глубина вложенности узла — длина пути от корня до этого узла.
• Высота дерева — это высота корневого узла или глубина самого глубокого узла.
• Степень узла — это общее количество ребер, которые соединены с этим узлом.

• Лес — множество непересекающихся деревьев. Например, если «срезать» корень, получится лес.

Виды деревьев

Обход дерева

Чтобы выполнить какую-либо операцию с деревом, нужно добраться до определенного узла. Для этого и существуют алгоритмы обхода дерева. Они помогают «дойти» до необходимого узла.

Где используются

• Деревья двоичного поиска помогают быстро проверить наличие элемента в наборе.
• Куча — это тоже своеобразное дерево. Кучи используют в алгоритме сортировки кучей.
• Префиксные деревья используются в маршрутизаторах, они хранят информацию о маршруте.
• Большинство популярных баз данных основаны на B-деревья и T-деревья.
• Компиляторы используют абстрактное синтаксическое дерево, чтобы находить синтаксические ошибки в ваших программах.

СodeСhick.io — простой и эффективный способ изучения программирования.

2023 © ООО «Алгоритмы и практика»

Источник