Основное свойство графа дерева

Глава 9 Деревья

Деревья заслуживают отдельного и подробного рассмотрения по двум причинам.

• Деревья являются в некотором смысле простейшим классом графов. Для них выполняются многие свойства, которые не всегда выполняются для графов в общем случае. Применительно к деревьям многие доказательства и рассужде­ния оказываются намного проще. Выдвигая какие-то гипотезы при решении задач теории графов, целесообразно сначала их проверять на деревьях.
• Деревья являются самым распространенным классом графов, применяемых в программировании, причем в самых разных ситуациях. Более половины объ­ема этой главы посвящено рассмотрению конкретных применений деревьев в программировании.

9.1. Свободные деревья

9.1.1. Определения

Граф без циклов называется ациклическим, или лесом. Связный ациклический граф называется (свободным) деревом. Таким образом, компонентами связности леса являются деревья. ЗАМЕЧАНИЕ Прилагательное «свободное» употребляется в том случае, когда нужно подчеркнуть от­личие деревьев от других объектов, родственных деревьям: ориентированных деревьев, упорядоченных деревьев и т. д. В связном графе G выполняется неравенство q(G)  p(G) — 1. Граф G, в котором q(G)=p(G)-1, называется древовидным. В ациклическом графе G z(G) = 0. Пусть u, v — несмежные вершины графа G, х = (u, v)  Е. Если граф G + х имеет только один простой цикл, z(G + х) = 1, то граф G называется субциклическим. Пример На рис. 9.1 показаны диаграммы всех различных (свободных) деревьев с 5 вер­шинами, а на рис. 9.2 — диаграммы всех различных (свободных) деревьев с 6 вершинами Рис. 9.1. Свободные деревья с 5 вершинами Рис. 9.2. Свободные деревья с 6 вершинами

9.1 .2. Основные свойства деревьев

Следующая теорема устанавливает, что два из четырех свойств — связность, аци­кличность, древовидность и субцикличность — характеризуют граф как дерево. ТЕОРЕМА Пусть G(V, Е) — граф с р вершинами, q ребрами, k компонентами связности и z простыми циклами. Пусть далее х — ребро, соединяющее любую пару несмежных вершин в G. Тогда следующие утверждения эквивалентны: 1. G — дерево, то есть связный граф без циклов, k(G)=1&z(G)=0; 2. любые две вершины соединены в G единственной простой цепью, u, v  ! ; 3. G — связный граф, и любое ребро есть мост, k(G) = l&eЕ k(G – е) > 1;. 4. G — связный и древовидный, k(G) = l&q(G)=p(G)-l; 5. G — ациклический и древовидный, z(G) = 0&q(G)=p(G)-l; 6. G — ациклический и субциклический, z(G) =0&z(G + x) = 1; 7. G — связный, субциклический и неполный, k(G) = l&GK_p&p3&z(G + x) = 1; 8. G — древовидный и субциклический (за двумя исключениями), q(G)=p(G)-l&GK₁K₃&GK₂K₃&z(G + x) = l. доказательство [1 2.] От противного. Пусть существуют две цепи (рис. 9.3 слева). Тогда w₁, w₂ — простой цикл. Рис. 9.3. К доказательству теоремы о свойствах деревьев [2 3.] Имеем: u,v ! , следовательно, k(G) = 1. Далее от противного. Пусть ребро х — не мост. Тогда в G — х концы этого ребра связаны цепью. Само ребро х — вторая цепь. [3 4.] Индукция по p. База: р=1  q = 0. Пусть q(G) = p(G) —1 для всех графов G с числом вершин меньше р, у которых любое ребро суть мост. Тогда удалим из G ребро х (которое является мостом). Получим две компоненты G’ и G», удовлетворяющие индукционному предположению. Имеем: q’ = р’ — 1, q» = р» — 1, q = q’ + q» + 1 = р’ — 1 + р» — 1 + 1 = р — 1. [4 5.] От противного. Пусть есть цикл с n вершинами и n ребрами. Остальные р — n вершин имеют инцидентные им ребра, которые связывают их с циклом. Следовательно, q  р, что противоречит условию q = р — 1. [51.] Граф без циклов, следовательно, его компоненты — деревья. Пусть их k. Имеем: Ho q = p — 1, следовательно, k = 1. [56.] По ранее доказанному 5  1 2. Имеем: u,v ! . Соединив две несмежные вершины, получим единственный простой цикл. [67.] При р  3 граф К_р содержит цикл, следовательно, G  К_р. Далее от противного. Пусть G несвязен, тогда при соединении ребром двух ком­понент связности цикл не возникнет. [72.] Имеем k(G) = 1, следовательно, u,v  . Пусть цепь не единственная. Тогда существует цикл Z, причем Z = К₃ = C₃. Действительно, пусть Z > Сз, тогда, соединив две несмежные вершины этого цикла, получим два цикла. Но G связен и G  K₃, следовательно, существу­ет другая вершина w, смежная с Z = К₃ (см. рис. 9.3 справа). Если w смежна с более чем одной вершиной Z, то имеем больше одного цикла. Если w смежна только с одной вершиной Z, то соединив ее с другой вершиной, получим два цикла. [78.] Имеем k(G) = 1, следовательно, G  К₂  K₃, G  K₁  K₃. Имеем по доказанному: 723 4, то есть q = р — 1. [85.] От противного. Пусть в G есть цикл Z = С_n. Если n > 3, то если внутри Z уже есть смежные вершины, имеем два цикла. Если в Z нет смежных вершин, то, соединив несмежные вершины в Z, получим два цикла. Сле­довательно, Z = К₃. Этот цикл Z является компонентой связности G. Действительно, пусть это не так. Тогда существует вершина w, смежная с Z. Если w смежна более чем с одной вершиной Z, то имеем больше одного цикла. Если w смежна только с одной вершиной Z, то, соеди­нив ее с другой вершиной, получим два цикла. Рассмотрим G’: = G — Z. Имеем: р = р’ + 3, q = q’ + 3. Но q = р — 1, следовательно, q’ = р’ — 1. От­сюда z(G’) = 0, так как один цикл уже есть. Следовательно, компоненты G’ — деревья. Пусть их fc. Имеем: но q’ = p’ — 1, следовательно, k = 1, то есть дерево одно. Если в этом дереве соединить несмежные вершины, то получим второй цикл. Два исключения: деревья, которые не имеют несмежных вершин, — это К₁ и К₂. Общая схема доказательства представлена на рис. 9.4. Граф доказательства силь­но связен, следовательно, теорема доказана. Рис. 9.4. Схема доказательства теоремы о свойствах деревьев СЛЕДСТВИЕ В любом нетривиальном дереве имеются по крайней мере две ви­сячие вершины. доказательство Рассмотрим дерево G(V,E). Дерево — связный граф, следовательно, v_iV d(v_i)1. Далее от противного. Пусть i l..p — l d(v_i) > 1. Тогда . Но q = р — 1, то есть 2q = 2р — 2. Имеем противоречие: 2р — 2 > 2р — 1.

Источник

8. Остовы и деревья

Понятие дерева широко используется во многих областях математики и информатики. Например, как инструмент при вычислениях, как удобный способ хранения данных, способ сортировки или поиска данных.

Достаточно развитое генеалогическое дерево образует дерево.

Типичное частичное организационное дерево для университета.

Если дерево имеет хотя бы одно ребро, оно имеет две вершины со степенью 1. Вершины со степенью 1 называются листьями. Другие вершины называются внутренними вершинами.

Предположим, что дерево представляет физический объект, подвижный в вершинах, и подвесим дерево за одну из его вершин:

Если подвесить за вершину V3 или V4

Вершина в верхней части называется корнем дерева, если корень определен, то дерево называется корневым. При необходимости корневое дерево Т можно заменить на ориентированное корневое дерево Т’, порожденное корневым деревом Т.

Если корень выбран, уровень вершины V определяется длиной единственного пути из корня в вершину V. Высотой дерева называется длина самого длинного пути от корня дерева до листа.

Если рассматривается корневое ориентированное дерево Т’, порожденное данным корневым деревом Т, тогда вершина u называется родителем вершины v; a v называется сыном вершины u, если существует ориентированное ребро из u в v.

Если u — родитель v и v1, тогда v и v1 называются братьями.

Если существует ориентированный путь из вершины u в вершину v, тогда u называется предком вершины v, a v называется потомком вершины u.

Если наибольшая из степеней выхода для вершин дерева равна m, тогда дерево называется m — арным деревом.

В частном случае, когда m = 2, дерево называется бинарным деревом.

В каждом бинарном дереве каждый сын родителя обозначается либо как левый сын, либо как правый сын (но не то и другое одновременно).

Связный граф G(V,E), не имеющий циклов, называется деревом.

ТЕОРЕМА (основные свойства деревьев):

Пусть граф G(V,E) имеет n вершин. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1. G является деревом;
2. G не содержит циклов и имеет n-1 рёбер;
3. G связен и имеет n-1 рёбер;
4. G связен, но удаление » ребра нарушает связность;
5. » две вершины графа G соединены ровно одним путём;
6. G не имеет циклов, но добавление » ребра порождает ровно один цикл.

Ориентированное дерево представляет собой ориентированный граф без циклов, в котором полустепень захода каждой вершины (за исключением одной, например v₁) не больше 1, а полустепень захода вершины v₁ (называемой также корнем) равна нулю. Вершину v ордерева называют потомком вершины u, если $ путь из u в v. В этом же случае вершину u называют предком вершины v. Вершину, не имеющую потомков, называют листом. Высота ордерева – это наибольшая длина пути из корня в лист. Уровень вершины ордерева – длина пути из корня в эту вершину. Ордерево называют бинарным, если полустепень исхода любой его вершины не превосходит 2. Пусть задан неориентированный граф. Остовным деревом (остовом) связного графа называется любой его остовный подграф, являющийся деревом. Граф и два его остовных дерева (удаленные ребра показаны пунктиром).Задачи о кратчайших расстояниях на графах.

1. Построение минимального остовного дерева (кратчайшей связывающей сети) – соединение всех узлов сети с помощью путей наименьшей длины.
2. Задача о нахождении дерева кратчайших расстояний – нахождение кратчайшего пути из одной вершины в любую другую.
3. Построение матрицы кратчайших расстояний – нахождение кратчайших путей для любой пары вершин.

Необходимо проложить линии коммуникаций (дороги, линии связи, электропередач и т.п.) между n заданными «точечными» объектами, при условии: во-первых, известны «расстояния» между каждой парой объектов (это может быть геометрическое расстояние или стоимость прокладки коммуникаций между ними), во-вторых, объекты могут быть связаны как непосредственно, так и с участием произвольного количества промежуточных объектов. При допущении, что разветвления возможны только в этих же n объектах, задача сводится к нахождению кратчайшего остовного дерева (SST — shortest spanning tree, или MST — minimal spanning tree) во взвешенном графе, вершины которого соответствуют заданным объектам, а веса ребер равны «расстояниям» между ними. Определение.Весостовного дерева взвешенного графа G равен сумме весов, приписанных ребрам остовного дерева. Будем обозначать (T). Минимальным остовным деревом (МОД) называется такое остовное дерево графа G, что вес T меньше или равен весу любого другого остовного дерева графа G. Вес минимального остовного дерева будем обозначать _min(T). Задача 1:найти кратчайшее остовное дерево (минимальный покрывающий остов) взвешенного графа. Пусть дан неориентированный связный граф со взвешенными ребрами. Вес ребра (x_i,x_j) обозначим c_ij. Из всех остовов графа необходимо найти один, у которого сумма весов на ребрах наименьшая. Стоимость остовного дерева вычисляется как сумма стоимостей всех рёбер, входящих в это дерево. Построение остова графа G, имеющего наименьший вес, имеет широкое применение при решении некоторого класса задач прикладного характера. Например: Пусть, например, G=(V, E, ) служит моделью железнодорожной сети, соединяющей пункты v₁, v₂, …, v_nV, а (v_i, v_j) – расстояние между пунктами v_i и v_j. Требуется проложить сеть телеграфных линий вдоль железнодорожной сети так, чтобы все пункты v₁, v₂, …, v_n были связаны между собой телеграфной сетью, протяженность которой была бы наименьшей. Рассмотрим два способа построения минимального остовного дерева взвешенного графа: алгоритм Крускала и алгоритм Прима. Алгоритм Крускала: 1) Выбрать в графе G ребро e минимального веса, не принадлежащее множеству E и такое, что его добавление в E не создает цикл в дереве T. 2) Добавить это ребро во множество ребер E. 3) Продолжить, пока имеются ребра, обладающие указанными свойствами. Пример. Для данного взвешенного графа найти минимальное корневое остовное дерево, используя алгоритм Крускала. Определить высоту построенного дерева. Алгоритм Крускала. Выбираем ребро с минимальным весом. Это ребро, (, ) с весом, равным 4. Пусть вершина будет корнем дерева. Далее выбираем ребра, инцидентные вершинам , и имеющие минимальный вес. Это ребро (, ) с весом 5. Затем к вершине присоединяем ребро (,) с весом 7. Далее, добавляем ребро (, ) с весом 7 и ребро (,) с весом 6. Минимальный вес построенного дерева равен: _min(T)=4+5+7+7+6=29.

Источник