Полное дерево структура данных

Динамические структуры данных: бинарные деревья

Описание бинарного дерева выглядит следующим образом:

где информационное поле – это поле любого ранее объявленного или стандартного типа;

адрес левого (правого) поддерева – это указатель на объект того же типа, что и определяемая структура, в него записывается адрес следующего элемента левого (правого) поддерева .

Основными операциями, осуществляемыми с бинарными деревьями, являются:

• создание бинарного дерева ;
• печать бинарного дерева ;
• обход бинарного дерева ;
• вставка элемента в бинарное дерево ;
• удаление элемента из бинарного дерева ;
• проверка пустоты бинарного дерева ;
• удаление бинарного дерева .

Для описания алгоритмов этих основных операций используется следующее объявление:

struct BinaryTree< int Data; //поле данных BinaryTree* Left; //указатель на левый потомок BinaryTree* Right; /указатель на правый потомок >; . . . . . . . . . . BinaryTree* BTree = NULL;

Приведем функции перечисленных основных операций при работе с бинарным деревом.

//создание бинарного дерева void Make_Binary_Tree(BinaryTree** Node, int n) < BinaryTree** ptr;//вспомогательный указатель srand(time(NULL)*1000); while (n >0) < ptr = Node; while (*ptr != NULL) < if ((double) rand()/RAND_MAX < 0.5) ptr = &((*ptr)->Left); else ptr = &((*ptr)->Right); > (*ptr) = new BinaryTree(); cout > (*ptr)->Data; n--; > > //печать бинарного дерева void Print_BinaryTree(BinaryTree* Node, int l)< int i; if (Node != NULL) < Print_BinaryTree(Node->Right, l+1); for (i=0; i< l; i++) cout Data); Print_BinaryTree(Node->Left, l+1); > else cout //прямой обход бинарного дерева void PreOrder_BinaryTree(BinaryTree* Node)< if (Node != NULL) < printf ("%3ld",Node->Data); PreOrder_BinaryTree(Node->Left); PreOrder_BinaryTree(Node->Right); > > //обратный обход бинарного дерева void PostOrder_BinaryTree(BinaryTree* Node)< if (Node != NULL) < PostOrder_BinaryTree(Node->Left); PostOrder_BinaryTree(Node->Right); printf ("%3ld",Node->Data); > > //симметричный обход бинарного дерева void SymmetricOrder_BinaryTree(BinaryTree* Node)< if (Node != NULL) < PostOrder_BinaryTree(Node->Left); printf ("%3ld",Node->Data); PostOrder_BinaryTree(Node->Right); > > //вставка вершины в бинарное дерево void Insert_Node_BinaryTree(BinaryTree** Node,int Data) < BinaryTree* New_Node = new BinaryTree; New_Node->Data = Data; New_Node->Left = NULL; New_Node->Right = NULL; BinaryTree** ptr = Node;//вспомогательный указатель srand(time(NULL)*1000); while (*ptr != NULL) < double q = (double) rand()/RAND_MAX; if ( q < 1/3.0) ptr = &((*ptr)->Left); else if ( q > 2/3.0) ptr = &((*ptr)->Right); else break; > if (*ptr != NULL) < if ( (double) rand()/RAND_MAX < 0.5 ) New_Node->Left = *ptr; else New_Node->Right = *ptr; *ptr = New_Node; > else < *ptr = New_Node; >> //удаление вершины из бинарного дерева void Delete_Node_BinaryTree(BinaryTree** Node,int Data)< if ( (*Node) != NULL )< if ((*Node)->Data == Data)< BinaryTree* ptr = (*Node); if ( (*Node)->Left == NULL && (*Node)->Right == NULL ) (*Node) = NULL; else if ((*Node)->Left == NULL) (*Node) = ptr->Right; else if ((*Node)->Right == NULL) (*Node) = ptr->Left; else < (*Node) = ptr->Right; BinaryTree ** ptr1; ptr1 = Node; while (*ptr1 != NULL) ptr1 = &((*ptr1)->Left); (*ptr1) = ptr->Left; > delete(ptr); Delete_Node_BinaryTree(Node,Data); > else < Delete_Node_BinaryTree(&((*Node)->Left),Data); Delete_Node_BinaryTree(&((*Node)->Right),Data); > > > //проверка пустоты бинарного дерева bool Empty_BinaryTree(BinaryTree* Node) < return ( Node == NULL ? true : false ); >//освобождение памяти, выделенной под бинарное дерево void Delete_BinaryTree(BinaryTree* Node)< if (Node != NULL) < Delete_BinaryTree(Node->Left); Delete_BinaryTree(Node->Right); delete(Node); > >

Ключевые термины

Бинарное (двоичное) дерево – это дерево , в котором каждая вершина имеет не более двух потомков.

Вершина (узел) дерева – это каждый элемент дерева.

Ветви дерева – это направленные дуги, которыми соединены вершины дерева.

Высота (глубина) дерева – это количество уровней, на которых располагаются его вершины.

Дерево – это структура данных , представляющая собой совокупность элементов и отношений, образующих иерархическую структуру этих элементов.

Корень дерева – это начальный узел дерева, ему соответствует нулевой уровень.

Листья дерева – это вершины, в которые входит одна ветвь и не выходит ни одной ветви.

Неполное бинарное дерево – это дерево , уровни которого заполнены не полностью.

Нестрогое бинарное дерево – это дерево , у которого вершины имеют степень ноль (у листьев), один или два (у узлов).

Обход дерева – это упорядоченная последовательность вершин дерева, в которой каждая вершина встречается только один раз.

Поддерево – это часть древообразной структуры данных, которая может быть представлена в виде отдельного дерева.

Полное бинарное дерево – это дерево , которое содержит только полностью заполненные уровни.

Потомки – это все вершины, в которые входят ветви, исходящие из одной общей вершины.

Почти сбалансированное дерево – это дерево , у которого длины всевозможных путей от корня к внешним вершинам отличаются не более, чем на единицу.

Предок – это вершина , из которой исходят ветви к вершинам следующего уровня.

Сбалансированное дерево – это дерево , у которого длины всех путей от корня к внешним вершинам равны между собой.

Степень вершины – это количество дуг, которое выходит из этой вершины.

Степень дерева – это максимальная степень вершин, входящих в дерево .

Строгое бинарное дерево – это дерево , у которого вершины имеют степень ноль (у листьев) или два (у узлов).

Упорядоченное дерево – это дерево , у которого ветви, исходящие из каждой вершины, упорядочены по определенному критерию.

Уровень вершины – это количество дуг от корня дерева до вершины.

Краткие итоги

1. Деревья являются одними из наиболее широко распространенных структур данных в программировании, которые представляют собой иерархические структуры в виде набора связанных узлов.
2. Каждое дерево обладает следующими свойствами: существует узел, в который не входит ни одной дуги (корень); в каждую вершину, кроме корня, входит одна дуга.
3. С понятием дерева связаны такие понятия, как корень, ветвь, вершина, лист, предок, потомок , степень вершины и дерева, высота дерева .
4. Списочное представление деревьев основано на элементах, соответствующих вершинам дерева.
5. Дерево можно упорядочить по указанному ключу.
6. Просмотреть с целью поиска все вершины дерева можно с помощью различных способов обхода дерева .
7. Наиболее часто используемыми обходами являются прямой, симметричный, обратный.
8. В программировании при решении большого класса задач используются бинарные деревья .
9. Бинарные деревья по степени вершин делятся на строгие и нестрогие, по характеру заполнения узлов – на полные и неполные, по удалению вершин от корня – на сбалансированные и почти сбалансированные.
10. Основными операциями с бинарными деревьями являются: создание бинарного дерева ; печать бинарного дерева ; обход бинарного дерева ; вставка элемента в бинарное дерево ; удаление элемента из бинарного дерева ; проверка пустоты бинарного дерева ; удаление бинарного дерева .
11. Бинарные деревья могут применяться для поиска данных в специально построенных деревьях (базы данных), сортировки данных, вычислений арифметических выражений , кодирования.

Источник

Дерево как структура данных

Какую выгоду можно извлечь из такой структуры данных, как дерево? В этой статье мы расскажем о данных в виде дерева, рассмотрим основные определения, которые следует знать, а также узнаем, как и зачем используется дерево в программировании. Спойлер: бинарные деревья часто применяют для поиска информации в базах данных, для сортировки данных, для проведения вычислений, для кодирования и в других случаях. Но давайте обо всем по порядку.

Основные термины

Дерево — это, по сути, один из частных случаев графа. Древовидная модель может быть весьма эффективна в случае представления динамических данных, особенно тогда, когда у разработчика стоит цель быстрого поиска информации, в тех же базах данных, к примеру. Еще древом называют структуру данных, которая представляет собой совокупность элементов, а также отношений между этими элементами, что вместе образует иерархическую древовидную структуру.

Каждый элемент — это вершина или узел дерева. Узлы, соединенные направленными дугами, называются ветвями. Начальный узел — это корень дерева (корневой узел). Листья — это узлы, в которые входит 1 ветвь, причем не выходит ни одной.

Общую терминологию можно посмотреть на левой и правой части картинки ниже:

Какие свойства есть у каждого древа:

— существует узел, в который не входит ни одна ветвь;

— в каждый узел, кроме корневого узла, входит 1 ветвь.

На практике деревья нередко применяют, изображая различные иерархии. Очень популярны, к примеру, генеалогические древа — они хорошо известны. Все узлы с ветвями, исходящими из единой общей вершины, являются потомками, а сама вершина называется предком (родительским узлом). Корневой узел не имеет предков, а листья не имеют потомков.

Также у дерева есть высота (глубина). Она определяется числом уровней, на которых располагаются узлы дерева. Глубина пустого древа равняется нулю, а если речь идет о дереве из одного корня, тогда единице. В данном случае на нулевом уровне может быть лишь одна вершина – корень, на 1-м – потомки корня, на 2-м – потомки потомков корня и т. д.

Ниже изображен графический вывод древа с 4-мя уровнями (дерево имеет глубину, равную четырем):

Следующий термин, который стоит рассмотреть, — это поддерево. Поддеревом называют часть древообразной структуры, которую можно представить в виде отдельного дерева.

Идем дальше. Древо может быть упорядоченным — в данном случае ветви, которые исходят из каждого узла, упорядочены по некоторому критерию.

Степень вершины в древе — это число ветвей (дуг), выходящих из этой вершины. Степень равняется максимальной степени вершины, которая входит в дерево. В этом случае листьями будут узлы, имеющие нулевую степень. По величине степени деревья бывают:

— двоичные (степень не больше двух);

— сильноветвящиеся (степень больше двух).

Деревья — это рекурсивные структуры, ведь каждое поддерево тоже является деревом. Каждый элемент такой рекурсивной структуры является или пустой структурой, или компонентом, с которым связано конечное количество поддеревьев.

Когда мы говорим о рекурсивных структурах, то действия с ними удобнее описывать посредством рекурсивных алгоритмов.

Обход древа

Чтобы выполнить конкретную операцию над всеми вершинами, надо все эти узлы просмотреть. Данную задачу называют обходом дерева. То есть обход представляет собой упорядоченную последовательность узлов, в которой каждый узел встречается лишь один раз.

В процессе обхода все узлы должны посещаться в некотором, заранее определенном порядке. Есть ряд способов обхода, вот три основные:

— прямой (префиксный, preorder);

— симметричный (инфиксный, inorder);

— обратный (постфиксный, postorder).

Существует много древовидных структур данных: двоичные (бинарные), красно-черные, В-деревья, матричные, смешанные и пр. Поговорим о бинарных.

Бинарные (двоичные) деревья

Бинарные имеют степень не более двух. То есть двоичным древом можно назвать динамическую структуру данных, где каждый узел имеет не большое 2-х потомков. В результате двоичное дерево состоит из элементов, где каждый из элементов содержит информационное поле, а также не больше 2-х ссылок на различные поддеревья. На каждый элемент древа есть только одна ссылка.

У бинарного древа каждый текущий узел — это структура, которая состоит из 4-х видов полей. Какие это поля:

— информационное (ключ вершины);

— служебное (включена вспомогательная информация, однако таких полей может быть несколько, а может и не быть вовсе);

— указатель на правое поддерево;

— указатель на левое поддерево.

Самый удобный вид бинарного древа — бинарное дерево поиска.

Что значит древо в контексте программирования?

Мы можем долго рассуждать о математическом определении древа, но это вряд ли поможет понять, какие именно выгоды можно извлечь из древовидной структуры данных. Тут важно отметить, что древо является способом организации данных в форме иерархической структуры.

В каких случаях древовидные структуры могут быть полезны при программировании:

1. Когда данная иерархия существует в предметной области разрабатываемой программы. К примеру, программа должна обрабатывать генеалогическое древо либо работать со структурой каталогов. В таких ситуациях иногда есть смысл сохранять между объектами программы существующие иерархические отношения. В качестве примера можно вывести древо каталогов операционной системы UNIX:

• Когда между объектами, которые обрабатывает программа, отношения иерархии не заданы явно, но их можно задать, что сделает обработку данных удобнее. Как тут не вспомнить разработку парсеров либо трансляторов, где весьма полезным может быть древо синтаксического разбора?
• А сейчас очевидная вещь: поиск объектов более эффективен, когда объекты упорядочены, будь то те же базы данных. К примеру, поиск значения в неструктурированном наборе из тысячи элементов потребует до тысячи операций, тогда как в упорядоченном наборе может хватить всего дюжины. Вывод прост: раз иерархия — эффективный способ упорядочивания объектов, почему же не использовать древовидную иерархию для ускорения поиска узлов со значениями? Так и происходит: если вспомнить бинарные деревья, то на практике их можно применять в следующих целях:

— поиск данных в базах данных (специально построенных деревьях);

— сортировка и вывод данных;

— вычисления арифметических выражений;

— кодирование по методу Хаффмана и пр.

Источник