Пример расчета вероятностей дерева отказов

3.2.2. Построение деревьев отказов

Методы деревьев отказов и событий позволяют учесть функциональные взаимосвязи элементов системы в виде логических схем, показывающих взаимозависимость отказов элементов или групп элементов. В общем случае как деревья отказов, так и деревья событий являются лишь наглядной иллюстрацией к простейшим вероятностным моделям. Однако они представляют значительный интерес для специалистов, связанных с эксплуатацией, обслуживанием и надзором технических объектов. Имея такую схему, специалист, даже не обладая основательными знаниями по теории вероятностей, может не только найти наиболее критический вариант развития событий, но и оценить ожидаемый риск, если соответствующее дерево событий или отказов дополнено статистическими данными. Кроме того, на рынке коммерческих программ (не говоря о специализированных) уже давно имеются программные комплексы для автоматизированного построения деревьев отказов и деревьев событий сложных систем.

Дерево отказов (дерево аварий) представляет собой сложную графологическую структуру, лежащую в основе словесно-графического способа анализа возникновения аварии из последовательностей и комбинаций, и неисправностей, и отказов элементов системы.

С помощью анализа дерева отказов фактически делается попытка количественно выразить риск дедуктивным методом, деревья отказов идентифицируют событие или ситуацию, создающие риск, после чего ставится вопрос: как могло возникнуть такое событие? Ответ заключается в том, что к такому событию могло привести множество путей. Практическая полезность дерева отказов зависит от тщательности оценки верхнего события. Большинство непосредственных причин верхних событий могут изучаться, как будто они сами являются верхними событиями. Теоретически такой анализ может проводиться очень детально на многих уровнях. Наиболее доступные для исследования причины — это отказы компьютеров, по которым имеется достаточное количество статистических данных.

Наглядным примером в качестве элементов систем могут служить насосы и регулирующая аппаратура. Так, хотя отказ насоса и может служить верхним событием, вызванным такими причинами, как разрыв корпуса, разрушение подшипника и т.п., достаточное количество данных об отказах насосов может позволить рассматривать такой отказ как причину. В таком случае нет необходимости проводить дальнейший анализ для определения риска отказа. Поскольку в таком дедуктивном методе процесс детализации может прерываться произвольно, анализ можно заканчивать на компоненте, по которому имеется достаточно данных, необходимых для точного определения вероятности отказа такого компонента.

Методика построения дерева отказа состоит из следующих этапов. 1. Определяют аварийное (предельно опасное, конечное) событие, которое образует вершину дерева. Данное событие четко формулируют, дают признаки его точного распознавания. Для объектов химической технологии, например, к таким событиям относятся разрыв аппарата, пожар, выход реакции из-под контроля и др. Если конечное событие сразу определить не удается, то производят прямой анализ работы объекта с учетом изменения состояния работоспособности, ошибок операторов и т.п. Перечисляют возможные отказы, рассматривают их комбинации, определяют последствия этих событий.

2.Используя стандартные символы событий и логические символы (табл. 3.1), дерево строят в соответствии со следующими правилами:

• конечное (аварийное) событие помещают вверху;

• дерево состоит из последовательности событий, которые ведут к конечному событию; • последовательности событий образуются с помощью логических символов И, ИЛИ и др.;

• Событие над логическим символом помещают в прямоугольнике, а само событие описывают в этом прямоугольнике;

• первичные события (исходные причины) располагают снизу.

Стандартные символы событий и логические символы, применяемые при построении деревьев отказов.

Простейшее дерево, характеризующее возникновение пожара на объекте, показано на рис. 3.2а, более сложное дерево аварии, описывающее разрыв химического реактора, представлено на рис. 3.2, б. Исходные события при разрыве реактора следующие: А закрыт ИЛИ неисправен предохранительный клапан, Б — открыт клапан подачи окислителя В— неисправна система блокировки при высокой температуре, Г— малая подача сырья, Д— клапан окислителя открыт и неисправен, Е— неисправна система регулирования расхода окислителя, Ж— увеличено открытие диафрагмы, З— отсутствует напор.

При построении дерева аварий события располагают по уровням. Главное (конечное) событие занимает верхний 0-й уровень, ниже располагают события 1-го уровня (среди них могут быть и начальные), затем 2-го уровня и т.д. Если на 1-м уровне содержится одно или несколько начальных событий, объединяемых логическим символом ИЛИ, то возможен непосредственный переход от начального события к аварии.

3. Определяют минимальные аварийные сочетания и минимальную траекторию для построения дерева. Первичные и неразлагаемые события соединены с событием 0-го уровня маршрутами (ветвями). Сложное дерево имеет различные наборы исходных событий, при которых достигается событие в вершине; они называются аварийными сочетаниями.

4. Квалифицированные эксперты проверяют правильность построения дерева. Это позволяет исключить субъективные ошибки разработчика, повысить точность и полноту описания объекта и его действий.

Рис. 3.2. Пример дерева отказов.

Минимальным аварийным сочетанием (МАС) называют наименьший набор исходных событий, при котором возникает событие в вершине. Полная совокупность МАС дерева представляет собой все варианты сочетаний событий, при которых может возникнуть авария. Минимальная траектория — наименьшая группа событий, без появления которых аварии не происходит. Например, если события А не произойдет, то не возникнет и разрыв реактора. Минимальные траектории представляют собой события, которые являются критическими для поддержания объекта в безопасном состоянии.

5. Качественно и количественно исследуют дерево аварий с помощью выделенных минимальных аварийных сочетаний и траекторий. Качественный анализ заключается в сопоставлении различных маршрутов от начальных событий к конечному и определении критических (наиболее опасных) путей, приводящих к аварии. При количественном исследовании рассчитывают вероятность появления аварии в течение задаваемого интервала времени по всем возможным маршрутам. При расчете вероятности возникновения аварии необходимо учитывать применяемые логические символы. Вероятность S(А) выходного события А при независимости входных событий А₁, А₂, . А_n определяют по формулам

при знаке И: S(А) = S(A_i), (3.9) при знаке ИЛИ S(А) = 1 — [1-S(A_i)], (3.10)

где S(A_i) вероятность события A_i.

Источник

Лек_7_Метод дерева отказов

Метод дерева отказов был разработан в 1961 г. Х. Ватсоном на основе теории вероятности и математической логики. Формализация метода взята из генеалогии, хотя сам метод является поисково-вероятностным. Основное применение метода дерева отказов — теория надежности. Дерево отказов строится следующим образом. Вверху дерева указывается верхнее нежелательное событие (ВНС), ниже располагаются события, которые к нему привели, внутри геометрических фигур, соединяемых логическими связями “И”, “ИЛИ”. На самом нижнем уровне дерева показываются события, являющиеся первопричинами, или события, причины появления которых не известны (не исследуются).

При составлении дерева отказов используются следующие обозначения:

— событие является результатом нижерасположенных событий.

— логическая связь «или».

— логическая связь «и».

— первоначальное событие, независимое от других.

— события, происходящие при нормальном функционировании систем.

— первоначальное событие, развитие которого вниз уже нецелесообразно (требует дополнительной информации).

Причины соединяются между собой либо логической связью «или», либо «и». Причины, действующие независимо друг от друга, соединяются связью «или». Причины, действующие только в совокупности, – связью «и».

Если известны вероятности первоначальных причин (определенные путем статистической обработки данных за прошлый период), то можно рассчитать вероятность наступления ВНС. При введении допущения о независимости событий расчет вероятностей наступления событий на каждом уровне ведется по следующим формулам:

Для события, у которого первопричины соединены связью «и»:

Для события, у которого первопричины соединены связью «или»:

Если независимое событие нарушается, то производятся Булевы преобразования вероятностей по правилам алгебры логики:

Правило сложения вероятностей для цепи «или»

— сложение событий;

— умножение событий.

Правило умножения вероятностей для цепи «и»

P(A_i)P(A_j) – вероятность наступления событий A_i; A_j.

P(A_i/A_j) – вероятность наступления событий A_i при условии наступления события A_j.

Если наступление первичных событий задается с помощью установленных законов распределения вероятностей, то тестирование дерева отказов проводится многократно, а вероятности событий задаются случайным образом, в соответствии со своими законами распределения. В результате получается статистическая оценка наступления ВНС.

Ниже приводится дерево отказов, где ВНС — возникновение ползуна на колесной паре.

Рис.1. Дерево отказов: возникновение ползуна на колесной паре.

На рис.1 буквами обозначены следующие события:

A — неисправно работающие тормоза при служебном торможении;

C — заклинивание колесной пары;

D — авторегулятор рычажной передачи создает слишком большой ход;

E — воздухораспределитель настроен на груженой режим;

G — после отпуска пневмотормозов колодки не отошли от колесной пары- в воздухораспределителе замерзла влага;

H — воздухораспределитель за ночь охладился (его температура ниже температуры точки росы днем);

J — на локомотиве нет системы осушки сжатого воздуха.

Расчет вероятности ВНС ведется по формулам:

• для событий, соединенных связью «и»:

P_А = P_DP_E; P_G = P_HP_J.

• для событий, соединенных связью «или»:

P_С = 1 — (1 – P_F) (1 – P_G) P_ВНС = 1 — (1 – P_A) (1 – P_B) (1 – P_C) Для построения дерева отказов автосцепки составим список возможных причин саморасцепа подвижного состава, вызванного неисправностью автосцепного устройства.

1. ВНС – саморасцеп вагонов.
2. Юз не менее 20 % вагонов состава.
3. Вагоны (8 – осн.) поставлены в конце состава, их количество более 10 % вагонов состава.
4. Неисправна автосцепка.
5. Опробование тормозов на ближайшем раздельном пункте не проводилось.
6. Опробование тормозов на ближайшем раздельном пункте проводилось от компрессора локомотива, на локомотиве нет системы осушки сжатого воздуха, время года — зима.
7. При опробовании тормозов юз выявлен, но не устранен.
8. При опробовании тормозов юз не выявлен в движении, причины его появления не известны.
9. 8-осн. вагоны стоят в конце состава.
10. 8-осн. вагоны составляют более 10 % всех вагонов.
11. Брак автосцепки после деповского ремонта не выявлен.
12. Брак автосцепки после изготовления не выявлен.
13. Неправильная эксплуатация автосцепки при маневровых работах (соударение).
14. Наличие в автосцепке внутренних трещин и раковин.
15. Наличие в автосцепке усталостных напряжений.
16. Нарушена технология ремонта автосцепки.
17. Нарушена технология изготовления автосцепки

Дерево событий для перечисленных событий выглядит так

Рис. 2. Дерево событий отказа автосцепки

1. Составить формулы для расчета вероятности верхнего нежелательного события – отказа автосцепки.
2. Могут ли события, соединенные связью «И» воздействовать на вышерасположенное событие по отдельности?

Источник