Узлы дерева листы дерева

Дерево (структура данных)

Узел является экземпляром одного из двух типов элементов графа, соответствующим объекту некоторой фиксированной природы. Узел может содержать значение, состояние или представление отдельной информационной структуры или самого дерева. Каждый узел дерева имеет ноль или более узлов-потомков, которые располагаются ниже по дереву (по соглашению, деревья ‘растут’ вниз, а не вверх, как это происходит с настоящими деревьями). Узел, имеющий потомка, называется узлом-родителем относительно своего потомка (или узлом-предшественником, или Корневые узлы [ ]

Самый верхний узел дерева называется корневым узлом. ‘Быть самым верхним узлом’ подразумевает отсутствие у корневого узла предков. Это узел, на котором начинается выполнение большинства операций над деревом (хотя некоторые алгоритмы начинают выполнение с «листов» и выполняются, пока не достигнут корня). Все прочие узлы могут быть достигнуты путём перехода от корневого узла по рёбрам (или ссылкам). (Согласно формальному определению, каждый подобный путь должен быть уникальным). В диаграммах он обычно изображается на самой вершине. В некоторых деревьях, например, Листовые узлы [ ]

Узлы самого нижнего уровня дерева называются Внутренние узлы [ ]

Внутренний узел — любой Поддеревья [ ]

Поддерево — часть деревообразной структуры данных, которая может быть представлено в виде отдельного дерева. Любой узел дерева T вместе со всеми его узлами-потомками является поддеревом дерева T. Для любого узла поддерева либо должен быть путь в корневой узел этого поддерева, либо сам узел должен являться корневым. Т.е. поддерево связано с корневым узлом целым деревом, а отношения поддерева со всеми прочими узлами определяются через понятие соответствующее поддерево (по аналогии с термином «соответствующее Упорядочивание деревьев [ ]

Существует два основных типа деревьев. В натуральные числа) называется деревом с именованными рёбрами или упорядоченным деревом со структурой данных, заданной перед именованием и называемой структурой данных упорядоченного дерева.

Упорядоченные деревья являются наиболее распространёнными среди древовидных структур. Двоичное дерево поиска — одно из разновидностей упорядоченного дерева.

Представление деревьев [ ]

Существует множество различных способов представления деревьев. Наиболее общий способ представления изображает узлы как записи, расположенные в динамически выделяемой памяти с указателями на своих потомков, предков (или и тех и других), или как элементы Деревья как графы [ ]

• Перебор всех элементов дерева
• Перебор ветви дерева
• Поиск элемента
• Вставка нового элемента в определённую позицию
• Удаление элемента
• Удаление ветви дерева (называется Общее применение [ ]

Прочие деревья [ ]

• B-дерево ( B+ дерево , R-дерево
• Список с пропусками
• T-дерево
• T-пирамида
• Ссылки [ ]

• ISBN 0-201-89683-4 . Section 2.3: Trees, pp.308–423.
• Томас Кормен , Клиффорд Штайн . Introduction to Algorithms , Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7 . Section 10.4: Representing rooted trees, pp.214–217. Chapters 12–14 (Binary Search Trees, Red-Black Trees, Augmenting Data Structures), pp.253–320.

Дополнительные источники [ ]

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Дерево (структура данных). Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

Источник

Дерево

Дерево – структура данных, представляющая собой древовидную структуру в виде набора связанных узлов.

Бинарное дерево — это конечное множество элементов, которое либо пусто, либо содержит элемент ( корень ), связанный с двумя различными бинарными деревьями, называемыми левым и правым поддеревьями . Каждый элемент бинарного дерева называется узлом . Связи между узлами дерева называются его ветвями .

Способ представления бинарного дерева:

Корень дерева расположен на уровне с минимальным значением.

Узел D , который находится непосредственно под узлом B , называется потомком B . Если D находится на уровне i , то B – на уровне i-1 . Узел B называется предком D .

Максимальный уровень какого-либо элемента дерева называется его глубиной или высотой .

Если элемент не имеет потомков, он называется листом или терминальным узлом дерева.

Остальные элементы – внутренние узлы (узлы ветвления).

Число потомков внутреннего узла называется его степенью . Максимальная степень всех узлов есть степень дерева.

Число ветвей, которое нужно пройти от корня к узлу x , называется длиной пути к x . Корень имеет длину пути равную 0 ; узел на уровне i имеет длину пути равную i .

Бинарное дерево применяется в тех случаях, когда в каждой точке вычислительного процесса должно быть принято одно из двух возможных решений.

Имеется много задач, которые можно выполнять на дереве.

Распространенная задача — выполнение заданной операции p с каждым элементом дерева. Здесь p рассматривается как параметр более общей задачи посещения всех узлов или задачи обхода дерева.

Если рассматривать задачу как единый последовательный процесс, то отдельные узлы посещаются в определенном порядке и могут считаться расположенными линейно.

Способы обхода дерева

Пусть имеем дерево, где A — корень, B и C — левое и правое поддеревья.

Существует три способа обхода дерева:

• Обход дерева сверху вниз (в прямом порядке): A, B, C — префиксная форма.
• Обход дерева в симметричном порядке (слева направо): B, A, C — инфиксная форма.
• Обход дерева в обратном порядке (снизу вверх): B, C, A — постфиксная форма.

Реализация дерева

Узел дерева можно описать как структуру:

struct tnode <
int field; // поле данных
struct tnode *left; // левый потомок
struct tnode *right; // правый потомок
>;

При этом обход дерева в префиксной форме будет иметь вид

void treeprint(tnode *tree) <
if (tree!= NULL ) < //Пока не встретится пустой узел
cout field; //Отображаем корень дерева
treeprint(tree->left); //Рекурсивная функция для левого поддерева
treeprint(tree->right); //Рекурсивная функция для правого поддерева
>
>

Обход дерева в инфиксной форме будет иметь вид

void treeprint(tnode *tree) <
if (tree!= NULL ) < //Пока не встретится пустой узел
treeprint(tree->left); //Рекурсивная функция для левого поддерева
cout field; //Отображаем корень дерева
treeprint(tree->right); //Рекурсивная функция для правого поддерева
>
>

Обход дерева в постфиксной форме будет иметь вид

void treeprint(tnode *tree) <
if (tree!= NULL ) < //Пока не встретится пустой узел
treeprint(tree->left); //Рекурсивная функция для левого поддерева
treeprint(tree->right); //Рекурсивная функция для правого поддерева
cout field; //Отображаем корень дерева
>
>

Бинарное (двоичное) дерево поиска – это бинарное дерево, для которого выполняются следующие дополнительные условия (свойства дерева поиска):

• оба поддерева – левое и правое, являются двоичными деревьями поиска;
• у всех узлов левого поддерева произвольного узла X значения ключей данных меньше, чем значение ключа данных самого узла X ;
• у всех узлов правого поддерева произвольного узла X значения ключей данных не меньше, чем значение ключа данных узла X .

Данные в каждом узле должны обладать ключами, на которых определена операция сравнения меньше.

Как правило, информация, представляющая каждый узел, является записью, а не единственным полем данных.

Для составления бинарного дерева поиска рассмотрим функцию добавления узла в дерево.

Добавление узлов в дерево

struct tnode * addnode( int x, tnode *tree) <
if (tree == NULL ) < // Если дерева нет, то формируем корень
tree = new tnode; // память под узел
tree->field = x; // поле данных
tree->left = NULL ;
tree->right = NULL ; // ветви инициализируем пустотой
> else if (x < tree->field) // условие добавление левого потомка
tree->left = addnode(x,tree->left);
else // условие добавление правого потомка
tree->right = addnode(x,tree->right);
return (tree);
>

Удаление поддерева

void freemem(tnode *tree) <
if (tree!= NULL ) <
freemem(tree->left);
freemem(tree->right);
delete tree;
>
>

Пример Написать программу, подсчитывающую частоту встречаемости слов входного потока.

Поскольку список слов заранее не известен, мы не можем предварительно упорядочить его. Неразумно пользоваться линейным поиском каждого полученного слова, чтобы определять, встречалось оно ранее или нет, т.к. в этом случае программа работает слишком медленно.

Один из способов — постоянно поддерживать упорядоченность уже полученных слов, помещая каждое новое слово в такое место, чтобы не нарушалась имеющаяся упорядоченность. Воспользуемся бинарным деревом.

В дереве каждый узел содержит:

• указатель на текст слова;
• счетчик числа встречаемости;
• указатель на левого потомка;
• указатель на правого потомка.

Рассмотрим выполнение программы на примере фразы

now is the time for all good men to come to the aid of their party

При этом дерево будет иметь следующий вид

#include
#include
#include
#include
//#include
#define MAX WORD 100
struct tnode < // узел дерева
char * word; // указатель на строку (слово)
int count; // число вхождений
struct tnode* left; // левый потомок
struct tnode* right; // правый потомок
>;
// Функция добавления узла к дереву
struct tnode* addtree( struct tnode* p, char * w) int cond;
if (p == NULL ) p = ( struct tnode*)malloc( sizeof ( struct tnode));
p->word = _strdup(w);
p->count = 1;
p->left = p->right = NULL ;
>
else if ((cond = strcmp(w, p->word)) == 0)
p->count++;
else if (cond < 0)
p->left = addtree(p->left, w);
else
p->right = addtree(p->right, w);
return p;
>
// Функция удаления поддерева
void freemem(tnode* tree) if (tree != NULL ) freemem(tree->left);
freemem(tree->right);
free(tree->word);
free(tree);
>
>
// Функция вывода дерева
void treeprint( struct tnode* p) if (p != NULL ) treeprint(p->left);
printf( «%d %s\n» , p->count, p->word);
treeprint(p->right);
>
>
int main() struct tnode* root;
char word[MAX WORD ];
root = NULL ;
do scanf_s( «%s» , word, MAX WORD );
if (isalpha(word[0]))
root = addtree(root, word);
> while (word[0] != ‘0’ ); // условие выхода – ввод символа ‘0’
treeprint(root);
freemem(root);
getchar();
getchar();
return 0;
>

Результат выполнения

Комментариев к записи: 19

Источник

Деревья

Дерево — это нелинейная иерархическая структура данных. Она состоит из узлов и ребер, которые соединяют узлы.

Зачем нужны деревья

Другие структуры данных, например, массивы, списки, стеки и очереди, линейные. Это значит, что данные в них хранятся последовательно. Когда мы выполняем любую операцию в линейной структуре данных, временная сложность растет с увеличением размера данных. В современном мире это не очень круто.

Разные древовидные структуры позволяют быстрее и легче получать доступ к данным, поскольку дерево — структура нелинейная.

Части дерева

• Узел — это объект, в котором есть ключ или значение и указатели на дочерние узлы.
  Узлы, у которых нет дочерних узлов, называют листами или терминальными узлами.
  Узлы, у которых есть хотя бы один дочерний узел, называются внутренними.
• Ребро связывает два узла.
• Корень — это самый верхний узел дерева. Его ещё иногда называют корневым узлом.

Другие понятия

• Высота узла — это максимальная длина пути от этого узла к самому нижнему узлу (листу).
• Глубина вложенности узла — длина пути от корня до этого узла.
• Высота дерева — это высота корневого узла или глубина самого глубокого узла.
• Степень узла — это общее количество ребер, которые соединены с этим узлом.

• Лес — множество непересекающихся деревьев. Например, если «срезать» корень, получится лес.

Виды деревьев

Обход дерева

Чтобы выполнить какую-либо операцию с деревом, нужно добраться до определенного узла. Для этого и существуют алгоритмы обхода дерева. Они помогают «дойти» до необходимого узла.

Где используются

• Деревья двоичного поиска помогают быстро проверить наличие элемента в наборе.
• Куча — это тоже своеобразное дерево. Кучи используют в алгоритме сортировки кучей.
• Префиксные деревья используются в маршрутизаторах, они хранят информацию о маршруте.
• Большинство популярных баз данных основаны на B-деревья и T-деревья.
• Компиляторы используют абстрактное синтаксическое дерево, чтобы находить синтаксические ошибки в ваших программах.

СodeСhick.io — простой и эффективный способ изучения программирования.

2023 © ООО «Алгоритмы и практика»

Источник