Высота дерева бинарное дерево

Динамические структуры данных: бинарные деревья

Аннотация: В лекции рассматриваются определения, свойства и виды деревьев, элементы, характеристики и способы объявления деревьев в программах, основные операции над элементами деревьев, понятие и виды обходов деревьев, приводятся примеры реализации основных операций над бинарными деревьями в виде рекурсивных функций.

Цель лекции: изучить понятие, формирование, особенности доступа к данным и работы с памятью в бинарных деревьях, научиться решать задачи с использованием рекурсивных функций и алгоритмов обхода бинарных деревьев в языке C++.

Дерево является одним из важнейших и интересных частных случаев графа. Древовидная модель оказывается довольно эффективной для представления динамических данных с целью быстрого поиска информации .

Деревья являются одними из наиболее широко распространенных структур данных в информатике и программировании, которые представляют собой иерархические структуры в виде набора связанных узлов.

Дерево – это структура данных , представляющая собой совокупность элементов и отношений, образующих иерархическую структуру этих элементов ( рис. 31.1). Каждый элемент дерева называется вершиной (узлом) дерева. Вершины дерева соединены направленными дугами, которые называют ветвями дерева. Начальный узел дерева называют корнем дерева, ему соответствует нулевой уровень. Листьями дерева называют вершины, в которые входит одна ветвь и не выходит ни одной ветви.

Каждое дерево обладает следующими свойствами:

1. существует узел, в который не входит ни одной дуги (корень);
2. в каждую вершину, кроме корня, входит одна дуга.

Деревья особенно часто используют на практике при изображении различных иерархий. Например, популярны генеалогические деревья.

Все вершины, в которые входят ветви, исходящие из одной общей вершины, называются потомками, а сама вершина – предком. Для каждого предка может быть выделено несколько. Уровень потомка на единицу превосходит уровень его предка. Корень дерева не имеет предка, а листья дерева не имеют потомков.

Высота (глубина) дерева определяется количеством уровней, на которых располагаются его вершины. Высота пустого дерева равна нулю, высота дерева из одного корня – единице. На первом уровне дерева может быть только одна вершина – корень дерева , на втором – потомки корня дерева, на третьем – потомки потомков корня дерева и т.д.

Поддерево – часть древообразной структуры данных, которая может быть представлена в виде отдельного дерева.

Степенью вершины в дереве называется количество дуг, которое из нее выходит. Степень дерева равна максимальной степени вершины, входящей в дерево . При этом листьями в дереве являются вершины, имеющие степень нуль. По величине степени дерева различают два типа деревьев:

Упорядоченное дерево – это дерево , у которого ветви, исходящие из каждой вершины, упорядочены по определенному критерию.

Деревья являются рекурсивными структурами, так как каждое поддерево также является деревом. Таким образом, дерево можно определить как рекурсивную структуру, в которой каждый элемент является:

Действия с рекурсивными структурами удобнее всего описываются с помощью рекурсивных алгоритмов.

Списочное представление деревьев основано на элементах, соответствующих вершинам дерева. Каждый элемент имеет поле данных и два поля указателей: указатель на начало списка потомков вершины и указатель на следующий элемент в списке потомков текущего уровня. При таком способе представления дерева обязательно следует сохранять указатель на вершину, являющуюся корнем дерева .

Для того, чтобы выполнить определенную операцию над всеми вершинами дерева необходимо все его вершины просмотреть. Такая задача называется обходом дерева.

Обход дерева – это упорядоченная последовательность вершин дерева, в которой каждая вершина встречается только один раз.

При обходе все вершины дерева должны посещаться в определенном порядке. Существует несколько способов обхода всех вершин дерева. Выделим три наиболее часто используемых способа обхода дерева ( рис. 31.2):

Существует большое многообразие древовидных структур данных. Выделим самые распространенные из них: бинарные (двоичные) деревья, красно-черные деревья, В-деревья, АВЛ-деревья , матричные деревья, смешанные деревья и т.д.

Бинарные деревья

Бинарные деревья являются деревьями со степенью не более двух.

Бинарное (двоичное) дерево – это динамическая структура данных , представляющее собой дерево , в котором каждая вершина имеет не более двух потомков ( рис. 31.3). Таким образом, бинарное дерево состоит из элементов, каждый из которых содержит информационное поле и не более двух ссылок на различные бинарные поддеревья. На каждый элемент дерева имеется ровно одна ссылка .

Каждая вершина бинарного дерева является структурой, состоящей из четырех видов полей. Содержимым этих полей будут соответственно:

• информационное поле (ключ вершины);
• служебное поле (их может быть несколько или ни одного);
• указатель на левое поддерево ;
• указатель на правое поддерево .

По степени вершин бинарные деревья делятся на ( рис. 31.4):

• строгие – вершины дерева имеют степень ноль (у листьев) или два (у узлов);
• нестрогие – вершины дерева имеют степень ноль (у листьев), один или два (у узлов).

В общем случае у бинарного дерева на k -м уровне может быть до 2 k-1 вершин. Бинарное дерево называется полным, если оно содержит только полностью заполненные уровни. В противном случае оно является неполным.

Дерево называется сбалансированным, если длины всех путей от корня к внешним вершинам равны между собой. Дерево называется почти сбалансированным, если длины всевозможных путей от корня к внешним вершинам отличаются не более, чем на единицу.

Бинарное дерево может представлять собой пустое множество . Бинарное дерево может выродиться в список ( рис. 31.5).

Структура дерева отражается во входном потоке данных так: каждой вводимой пустой связи соответствует условный символ, например, ‘*’ (звездочка). При этом сначала описываются левые потомки, затем, правые. Для структуры бинарного дерева , представленного на следующем рисунке 6, входной поток имеет вид: ABD*G***CE**FH**J** .

Бинарные деревья могут применяться для поиска данных в специально построенных деревьях ( базы данных ), сортировки данных, вычислений арифметических выражений , кодирования (метод Хаффмана) и т.д.

Источник

Деревья поиска

Дерево — одна из наиболее распространенных структур данных в программировании.

Деревья состоят из набора вершин (узлов, нод) и ориентированных рёбер (ссылок) между ними. Вершины связаны таким образом, что от какой-то одной вершины, называемой корневой (вершина 8 на рисунке), можно дойти до всех остальных единственным способом.

• Родитель вершины $v$ — вершина, из которой есть прямая ссылка в $v$.
• Дети (дочерние элементы, сын, дочь) вершины $v$ — вершины, в которые из $v$ есть прямая ссылка.
• Предки — родители родителей, их родители, и так далее.
• Потомки — дети детей, их дети, и так далее.
• Лист (терминальная вершина) — вершина, не имеющая детей.
• Поддерево — вершина дерева вместе со всеми её потомками.
• Степень вершины — количество её детей.
• Глубина вершины — расстояние от корня до неё.
• Высота дерева — максимальная из глубин всех вершин.

Деревья чаще всего представляются в памяти как динамически создаваемые структуры с явными указателями на своих детей, либо как элементы массива связанные отношениями, неявно определёнными их позициями в массиве.

Деревья также используются в контексте графов.

Бинарные деревья поиска

Бинарное дерево поиска (англ. binary search tree, BST) — дерево, для которого выполняются следующие свойства:

• У каждой вершины не более двух детей.
• Все вершины обладают ключами, на которых определена операция сравнения (например, целые числа или строки).
• У всех вершин левого поддерева вершины $v$ ключи не больше, чем ключ $v$.
• У всех вершин правого поддерева вершины $v$ ключи больше, чем ключ $v$.
• Оба поддерева — левое и правое — являются двоичными деревьями поиска.

Более общим понятием являются обычные (не бинарные) деревья поиска — в них количество детей может быть больше двух, и при этом в «более левых» поддеревьях ключи должны быть меньше, чем «более правых». Пока что мы сконцентрируемся только на двоичных, потому что они проще.

Чаще всего бинарные деревья поиска хранят в виде структур — по одной на каждую вершину — в которых записаны ссылки (возможно, пустые) на правого и левого сына, ключ и, возможно, какие-то дополнительные данные.

Как можно понять по названию, основное преимущество бинарных деревьев поиска в том, что в них можно легко производить поиск элементов:

Эта функция — как и многие другие основные, например, вставка или удаление элементов — работает в худшем случае за высоту дерева. Высота бинарного дерева в худшем случае может быть $O(n)$ («бамбук»), поэтому в эффективных реализациях поддерживаются некоторые инварианты, гарантирующую среднюю глубину вершины $O(\log n)$ и соответствующую стоимость основных операций. Такие деревья называются сбалансированными.

Источник

Деревья поиска

Дерево — одна из наиболее распространенных структур данных в программировании.

Деревья состоят из набора вершин (узлов, нод) и ориентированных рёбер (ссылок) между ними. Вершины связаны таким образом, что от какой-то одной вершины, называемой корневой (вершина 8 на рисунке), можно дойти до всех остальных единственным способом.

• Родитель вершины $v$ — вершина, из которой есть прямая ссылка в $v$.
• Дети (дочерние элементы, сын, дочь) вершины $v$ — вершины, в которые из $v$ есть прямая ссылка.
• Предки — родители родителей, их родители, и так далее.
• Потомки — дети детей, их дети, и так далее.
• Лист (терминальная вершина) — вершина, не имеющая детей.
• Поддерево — вершина дерева вместе со всеми её потомками.
• Степень вершины — количество её детей.
• Глубина вершины — расстояние от корня до неё.
• Высота дерева — максимальная из глубин всех вершин.

Деревья чаще всего представляются в памяти как динамически создаваемые структуры с явными указателями на своих детей, либо как элементы массива связанные отношениями, неявно определёнными их позициями в массиве.

Деревья также используются в контексте графов.

Бинарные деревья поиска

Бинарное дерево поиска (англ. binary search tree, BST) — дерево, для которого выполняются следующие свойства:

• У каждой вершины не более двух детей.
• Все вершины обладают ключами, на которых определена операция сравнения (например, целые числа или строки).
• У всех вершин левого поддерева вершины $v$ ключи не больше, чем ключ $v$.
• У всех вершин правого поддерева вершины $v$ ключи больше, чем ключ $v$.
• Оба поддерева — левое и правое — являются двоичными деревьями поиска.

Более общим понятием являются обычные (не бинарные) деревья поиска — в них количество детей может быть больше двух, и при этом в «более левых» поддеревьях ключи должны быть меньше, чем «более правых». Пока что мы сконцентрируемся только на двоичных, потому что они проще.

Чаще всего бинарные деревья поиска хранят в виде структур — по одной на каждую вершину — в которых записаны ссылки (возможно, пустые) на правого и левого сына, ключ и, возможно, какие-то дополнительные данные.

Как можно понять по названию, основное преимущество бинарных деревьев поиска в том, что в них можно легко производить поиск элементов:

Эта функция — как и многие другие основные, например, вставка или удаление элементов — работает в худшем случае за высоту дерева. Высота бинарного дерева в худшем случае может быть $O(n)$ («бамбук»), поэтому в эффективных реализациях поддерживаются некоторые инварианты, гарантирующую среднюю глубину вершины $O(\log n)$ и соответствующую стоимость основных операций. Такие деревья называются сбалансированными.

Источник