Является граф дерево связным

3.9. Деревья и леса

Каждая компонента связности леса – дерево, следовательно, для -связного леса существует дизъюнктное разбиение на деревьев.

Пример 1. Граф не является деревом, не является лесом. Граф — дерево. Граф — лес.

Лемма. Если граф – дерево, то каждое его ребро является мостом.

Доказательство.В параграфе 3.6 было доказано, что если ребро графа не содержится ни в одном цикле, то оно является мостом. Дерево граф ациклический, следовательно, каждое его ребро мост.■

Теорема (основная теорема о деревьях). Для графа следующие утверждения равносильны:

1. Граф— дерево.
2. ациклический и.
3. связный и.
4. связный и каждое его ребро является мостом.
5. Любые две вершины графаможно соединить, притом единственной, простой цепью.
6. ациклический, и добавление к нему нового ребра приводит к образованию единственного простого цикла.

Доказательство.Доказательство проведем по следующей схеме:. . Индукцией по числу ребер проверим, что для любого дерева выполняется равенство. Базис индукции.Пусть, тогда, и равенствовыполнено. Индуктивный переход.Предположим, что требуемое равенство выполняется для любого дерева с числом ребер меньшим либо равным. Докажем, что оно справедливо и для дерева с числом ребер. Удалим из графапроизвольное ребро .Согласно лемме, ребро — мост. По теореме о мостах. Следовательно, графсостоит из двух компонент связности,и , каждая из которых – дерево с числом ребер меньшим либо равным. Для каждой компоненты связности справедливо предположение индукции, т.е. выполнены равенстваи. Складывая эти равенства почленно, получим:. Или. . Докажем, что если граф ациклический и, то граф связный. Будем рассуждать от противного, т.е. предположим, что найдется ациклический граф, число ребер которого на единицу меньше числа вершин, который связным не является. Пусть,, — число компонент связности графа. Каждая компонента связности — дерево. Переходуже доказан, следовательно, для каждой компоненты связностиможем записать:. Просуммировав по, получим: . Или . Так как , то пришли к противоречию с условием. Следовательно, наше предположение было неверным. . Докажем, что если граф связный и, то каждое его ребро является мостом. Будем рассуждать от противного. Предположим, что найдется связный граф, такой что, в котором есть ребро , не являющееся мостом. Тогда графсвязный и . То есть для связного графа выполняется условие, что противоречит следствию теоремы о знаке цикломатического числа (см. параграф 3.7). . Из связности графа вытекает, что любые две его вершины можно соединить маршрутом, и, следовательно, простой цепью. Докажем, что эта простая цепь единственна. Доказательство проведем от противного. Предположим, что найдется связный граф, все ребра которого — мосты, такой, что в нем есть две вершиныи , соединенные двумя различными простыми цепямии. Поскольку цепииразличны, то имеется ребро , входящее в цепьи не входящее в цепь. Пусть и— фрагменты цепи. Склеим инвертированный фрагмент, цепьи инвертированный фрагмент. Получим на графе— маршрут, не содержащий ребра . Из этого маршрута выделим-простую цепь и склеим ее с цепью . В результате получим цикл, содержащий , а это противоречит тому, что ребро — мост. . Пусть для графавыполнено условие 5. Проверим сначала, что граф не содержит циклов. Будем рассуждать от противного. Предположим, что на графеимеется цикл. Пусть — одно из ребер этого цикла и вершиныи — концы этого ребра. Тогда— простая цепь, соединяющая вершиныи . Обозначим ее. Удалим из графаребро . Поскольку ребра циклов не являются мостами и графсвязный, то графтакже будет связным. Следовательно, на графесуществует— маршрут. Выделим из этого маршрута-простую цепь и обозначим ее. Таким образом мы показали, что на графеесть две простые цепи, соединяющие вершиныи :и, что противоречит условию 5. Покажем, что добавление к графу нового ребра приводит к образованию, притом единственного, цикла. Возьмем на графедве произвольные вершиныи и соединим их новым ребром; получим граф. По условию на графе имеется единственная простая-цепь. Склеив ее с цепью, получим на графепростой цикл. Докажем, что этот цикл единственный. Предположим, что при добавлении ребраобразовалось два простых цикла. Тогда, удалив из каждого из них ребро, получим на графедве простые-цепи, а наличие двух -цепей противоречит условию. . Будем рассуждать от противного, т.е. предположим, что существует несвязный граф, для которого выполнено условие 6. Возьмем на этом графе две вершины, лежащие в разных компонентах связности, и соединим их ребром. В результате образуется граф, для которого реброявляется мостом и, следовательно, не содержится ни в одном цикле. Таким образом, добавление ребране привело к образованию цикла, что противоречит условию 6.■ Следствие 1.Неодноэлементное дерево имеет не менее двух висячих вершин.Доказательство.Рассмотрим произвольное дерево, имеющее не менее двух вершин. Представим множество его вершинв виде, где— множество висячих вершин этого дерева. Тогда . Но , поэтому . Откуда . ■ Следствие 2.Если граф—-связный лес, то. Последнее следствие рекомендуем доказать самостоятельно.

Источник

Дерево, эквивалентные определения

Для графа [math]G[/math] эквивалентны следующие утверждения:

1. [math]G[/math] — дерево.
2. Любые две вершины графа [math]G[/math] соединены единственным простым путем.
3. [math]G[/math] — связен и [math] p = q + 1 [/math] , где [math]p[/math] — количество вершин, а [math]q[/math] количество ребер.
4. [math]G[/math] — ацикличен и [math] p = q + 1 [/math] , где [math]p[/math] — количество вершин, а [math]q[/math] количество ребер.
5. [math]G[/math] — ацикличен и при добавлении любого ребра для несмежных вершин появляется один простой цикл.
6. [math]G[/math] — связный граф, отличный от [math] K_p [/math] для [math] p \gt 3 [/math] , а также при добавлении любого ребра для несмежных вершин появляется один простой цикл.
7. [math]G[/math] — граф, отличный от [math] K_3 \cup K_1 [/math] и [math] K_3 \cup K_2 [/math] , а также [math] p = q + 1 [/math] , где [math]p[/math] — количество вершин, а [math]q[/math] количество ребер, и при добавлении любого ребра для несмежных вершин появляется один простой цикл.

Доказательство эквивалентности

Граф связен, поэтому любые две вершнины соединены путем. Граф ацикличен, значит путь единственен, а также прост, поскольку никакой путь не может зайти в одну вершину два раза, потому что это противоречит ацикличности.

Очевидно, что граф связен. Докажем по индукции, соотношение [math]p = q + 1[/math] . Утверждение очевидно для связных графов с одной и двумя вершинами. Предположим, что оно верно для графов, имеющих меньше [math]p[/math] вершин. Если же граф [math]G[/math] имеет [math]p[/math] вершин, то удаление из него любого ребра делает граф [math] G [/math] несвязным в силу единственности простых цепей; более того, получаемый граф будет иметь в точности две компоненты. По предположению индукции в каждой компоненте число вершин на единицу больше числа ребер. Таким образом, [math] p = q + 1 [/math] .

Очевидно, что если граф связен и ребер на одно меньше, чем вершин, то он ацикличен. Преположим, что у нас есть p вершин, и мы добавляем ребра. Если мы добавили ребро для получения цикла, то добавили второй путь между парой вершин, а значит нам не хватит его на добавление вершины и мы получим не связный граф, что противоречит условию.

[math]G[/math] — ациклический граф, значит каждая компонента связности графа является деревом. Так как в каждой из них вершин на единицу больше чем ребер, то [math] p = q + k [/math] , где [math]k[/math] — число компонент связности. Поскольку [math] p = q + k [/math] , то [math] k = 1 [/math] , а значит [math]G[/math] — связен. Таким образом наш граф — дерево, у которого между любой парой вершин есть единственный простой путь. Очевидно, при добавлении ребра появится второй путь между парой вершин, то есть мы получим цикл.

Поскольку [math] K_p [/math] для [math] p \gt 3 [/math] содержит простой цикл, то [math]G[/math] не может им являться. [math]G[/math] связен, так как в ином случае можно было бы добавить ребро так, что граф остался бы ациклическим.

Докажем, что любые две вершины графа соединены единственной простой цепью, а тогда поскольку [math] 2 \Rightarrow 3 [/math] , получим [math] p = q + 1 [/math] . Любые две вершины соединены простой цепью, так как [math]G[/math] — связен. Если две вершины соединены более чем одной простой цепью, то мы получим цикл. Причем он должен являться [math] K_3 [/math] , так как иначе добавив ребро, соединяющее две вершины цикла, мы получим более одного простого цикла, что противоречит условию. [math] K_3 [/math] является собственным подграфом [math]G[/math] , поскольку [math]G[/math] не является [math] K_p [/math] для [math] p \gt 3 [/math] . [math]G[/math] — связен, а значит есть вершина смежная с [math] K_3 [/math] . Очевидно, можно добавить ребро так, что образуется более одного простого цикла. Если нельзя добавить ребра так, чтобы не нарушалось исходное условие, то граф [math]G[/math] является [math]K_p[/math] для [math] p \gt 3 [/math] , и мы получаем противоречие с исходным условием. Значит, любые две вершины графа соединены единственной простой цепью, что и требовалось.

Если [math]G[/math] имеет простой цикл, то он является отдельной компонентой [math]K_3[/math] по ранее доказанному. Все остальные компоненты должны быть деревьями, но для выполнения соотношения [math] p = q + 1 [/math] должно быть не более одной компоненты отличной от [math]K_3[/math] , так как в [math]K_3[/math] [math] p = q = 3 [/math] . Если это дерево содержит простой путь длины 2, то в [math]G[/math] можно добавить ребро так, что образуются два простых цикла. Следовательно, этим деревом является [math]K_1[/math] или [math]K_2[/math] . Значит [math]G[/math] является [math]K_3 \cup K_1[/math] или [math]K_3 \cup K_2[/math] , которые мы исключили из рассмотрения. Значит наш граф ацикличен. Если [math]G[/math] ациклический и [math] p = q + 1 [/math] , то из [math] 4 \Rightarrow 5 [/math] и [math] 5 \Rightarrow 6 [/math] верно, что [math]G[/math] — связен. В итоге получаем, что [math]G[/math] является деревом по определению.

См. также

Источники информации

• Харари Ф. Теория графов. /пер. с англ. — изд. 2-е — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 296 с. — ISBN 5-354-00301-6
• Википедия — дерево(теория графов)

Источник

Теория графов

Следующая теорема устанавливает, что два из четырех свойств – связность, ацикличность, древовидность и субцикличность – характеризуют граф как дерево.

1. Для – графа следующие утверждения эквивалентны:
   1. – дерево;
   2. Любые две несовпадающие вершины графа соединяет единственная простая цепь;
   3. – связный граф, и любое ребро есть мост;
   4. – связный граф и древовидный;
   5. – ациклический граф (лес) и древовидный;
   6. – ациклический граф (лес) и субцикличекий;
   7. – связный, субциклический и неполный, ;
   8. – древовидный и субциклический, исключая и ;

(1->2): Если – дерево, то любые две его несовпадающие вершины соединяет единственная простая цепь. От противного. Пусть существуют две цепи (см. рис.). Тогда — простой цикл. (2->3): Если любые две несовпадающие вершины графа соединяет единственная простая цепь, то – связный граф, и любое ребро есть мост. Имеем: (число компонент связности). Далее от противного. Пусть ребро — не мост. Тогда в концы этого ребра связаны цепью. Само ребро в исходном графе – вторая цепь, что противоречит условию. (3->4): Если – связный граф, и любое ребро есть мост, то – связный и древовидный (). Индукция по (числу вершин). Если , то (число ребер). Пусть равенство выполняется для всех графов с числом вершин меньше . Докажем, что оно выполняется и для вершин. Удалим из ребро , являющееся мостом. Получим две компоненты связности и , для которых верно равенство . Т.е. , . Тогда . (4->5): Если – связный и древовидный (), то – ациклический граф (лес) и древовидный (). От противного. Пусть есть цикл с вершинами и ребрами. Остальные вершин связаны с этим циклом ребрами, т.к. граф связный. Следовательно, , что противоречит условию . Остальное без док-ва.

1. Ориентированные деревья

1. Ориентированным деревом (или ордеревом, или корневым деревом) называется орграф со следующими свойствами:
• существует единственный узел, в который не входит ни один другой узел. Он называется корнем ордерева;
• во все остальные узлы входит только по одному узлу;
• каждый узел достижим из корня.
1. Ордерево обладает следующими свойствами:

1. ; 2. если в ордереве отменить ориентацию ребер, то получится обычное дерево; 3. для каждого узла существует единственный путь, ведущий в этот узел из корня; 4. подграф, определяемый множеством узлов, достижимых из узла , является ордеревом с корнем . Это ордерево называется поддеревом узла .

1. Концевая вершина ордерева называется листом. Путь из корня в лист называется ветвью. Длина наибольшей ветви ордерева называется высотой. Уровень узла ордерева – это расстояние отт корня до узла. Сам корень имеет уровень 0. Узлы одного уровня образуют ярус дерева.

Источник