Золотое сечение листа растения

‍ Филлотаксис

Многие рас­те­ния, встре­чающи­еся в при­роде, изум­ляют соче­та­нием кра­соты, совершен­ства, оптималь­но­сти. Одна из при­род­ных зага­док, извест­ная со времён Лео­нардо да Винчи, но до сих пор необъяс­нён­ная, носит назва­ние «фил­ло­так­сис» (назва­ние состав­лено из двух слов древ­негре­че­ского языка и бук­вально озна­чает «рас­по­ложе­ние листьев»). Зага­доч­ным явля­ется наблю­да­емое в мире рас­те­ний геомет­ри­че­ски пра­виль­ное рас­по­ложе­ние листьев, лепест­ков, семян, харак­те­ри­стики кото­рого под­чи­няются зако­номер­но­стям арифме­ти­че­ским. При­чи­ной появ­ле­ния тон­ких матема­ти­че­ских зако­номер­но­стей инте­ре­суются есте­ство­ис­пыта­тели, от бота­ни­ков до физи­ков, гипо­тез множе­ство, а нерешён­ный вопрос один: что опти­ми­зи­руют рас­те­ния, выстра­и­вая элементы по пра­ви­лам фил­ло­так­сиса? При­знан­ного реше­ния пока нет. Несмотря на это, убе­диться в реаль­но­сти матема­ти­че­ской состав­ляющей фил­ло­так­сиса может каж­дый чита­тель. Возьмите ело­вую или сос­но­вую шишку, ана­нас или диск под­сол­нуха. Сразу видно, что чешуйки в ана­насе и шишке, семена в под­сол­нухе обра­зуют регу­ляр­ную струк­туру. Можно заме­тить и нали­чие на поверх­но­стях спи­ра­лей двух типов — пра­вых и левых. Если сосчи­тать коли­че­ство одно­тип­ных спи­ра­лей, то с большой веро­ят­но­стью вы полу­чите одну из пар $(5, 8)$, $(8, 13)$, $(13, 21)$, $(21, 34)$, обра­зо­ван­ных двумя сосед­ними чис­лами Фибо­наччи.

После­до­ва­тель­ность чисел Фибо­наччи $ \ <1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …\>$ зада­ётся соот­ноше­нием $F_n=F_+F_$ и парой началь­ных чисел $F_0=1$, $F_1=1$. А теперь ото­рви­тесь от книги и отправ­ляй­тесь в парк или в лес. Ищите, нахо­дите, рас­смат­ри­вайте и изу­чайте уди­ви­тель­ные матема­ти­че­ские зако­номер­но­сти в мире рас­те­ний.

Разворот книги

Лите­ра­тура

Кокс­тер Г. С. М. Вве­де­ние в геомет­рию. — М.: Наука, 1966. — [Глава 11 «Золо­тое сече­ние и фил­ло­так­сис», стр. 236—252]. Воро­бьёв Н. Н. Числа Фибо­наччи. — 4‐е изд., доп. — М.: Наука, 1978. — (Попу­ляр­ные лекции по матема­тике; Вып. 6). Грэ­хем Р., Кнут Д., Паташ­ник О. Кон­крет­ная матема­тика: Осно­ва­ние информа­тики. — М.: Мир, 1998. — [2‐e изд.: М.: Мир, Бином, 2009]. — [§ 6.6 «Числа Фибо­наччи»] Пету­хов С. В. Биоме­ха­ника, био­ника и симмет­рия. — М.: Наука, 1981.

Источник

Золотое сечение в растительном мире

С давних пор так повелось: все самое лучшее, ценное и желанное люди называли золотым: чьи-то умелые руки, доброе сердце, отзывчивый характер, незабываемые радостные деньки, покрытые ковром спелой ржи поля.… А в трудах Пифагора, Платона, Аристотеля, Евклида нередко упоминается о загадочном «Золотом сечении». Именно оно управляет всей нашей жизнью.

Содержимое работы — 1 файл

Золотое сечение в растительном мире.docx

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики Старорусский филиал

По дисциплине: Высшая математика.

Тема: Золотое сечение в растительном мире.

С давних пор так повелось: все самое лучшее, ценное и желанное люди называли золотым: чьи-то умелые руки, доброе сердце, отзывчивый характер, незабываемые радостные деньки, покрытые ковром спелой ржи поля.… А в трудах Пифагора, Платона, Аристотеля, Евклида нередко упоминается о загадочном «Золотом сечении». Именно оно управляет всей нашей жизнью.

В биологических исследованиях 70-90 гг. показано, что, начиная с вирусов и растений и кончая организмом человека, всюду выявляется золотая пропорция, характеризующая соразмерность и гармоничность их строения. Золотое сечение признано универсальным законом живых систем. Можно отметить два вида проявлений золотого сечения в живой природе: иррациональные отношения по Пифагору — 1.62 и целочисленные, дискретные — по Фибоначчи.

Было установлено, что числовой ряд чисел Фибоначчи характеризует структурную организацию многих живых систем. Например, винтовое листорасположение на ветке составляет дробь (число оборотов на стебле/число листьев в цикле, напр. 2/5; 3/8; 5/13), соответствующую рядам Фибоначчи. Хорошо известна «золотая» пропорция пятилепестковых цветков яблони, груши и многих других растений. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно.

Исследователь золотого сечения в растительном мире Ю. Урманцев в своей статье «Золотое сечение» пришел к такому выводу: «. золотое сечение

царит в некоторых процессах, протекающих в живой природе» ‘.

Филлотаксис

Характерной чертой строения растений и их развития является спиральность. Еще Гете, который был не только великим поэтом, но и естествоиспытателем, считал спиральность одним из характерных признаков всех организмов, проявлением самой сокровенной сущности жизни. Спирально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост ткани в стволах деревьев, по спирали расположены семечки в подсолнечнике, спираль увидели в шишках сосны, ананасах, кактусах, спиральные движения (нутации) наблюдаются при росте корней и побегов.

Посмотрим на сосновую шишку (Рис.1) Чешуйки на ее поверхности расположены строго закономерно — по двум спиралям, которые пересекаются приблизительно под прямым углом. Число таких спиралей у сосновых шишек равно 8 и 13 или 13 и 21 . Такие же спирали видны в поперечных разрезах почек; здесь числа спиралей относятся

Рассмотрим расположение семечек в корзине подсолнуха (Рис. 2). Они выстраиваются вдоль спиралей, которые закручиваются как слева направо, так и справа налево. В одну сторону у среднего подсолнуха закручено 13 спиралей, в другую – 21 . Отношение 13/21 равно 0,619. У более крупных соцветий подсолнуха число соответствующих спиралей больше, но отношение числа спиралей, закручивающихся в разных направлениях также равно числу 0,619.

Во многих других случаях, рассмотренных в ботанике, речь также идет, по существу, не о спирали, а о винтовом расположении элементов структуры; к сожалению, термины часто смешивают.

Существует несколько способов листорасположения. В первом листья побега располагаются строго один под другим, образуя вертикальные ряды – ортостихи. Условная спираль, соединяющая места расположения листьев на побеге, называется генетической, или основной спиралью, точнее, винтовой линией и делится на ряд листовых циклов. Генетическим этот винт называется потому, что расположение листьев в нем отвечает порядку появления в нем листьев. Проекция на плоскость листорасположения позволяет в долях окружности выразить угол расхождения листьев.

Винтовое расположение листьев выражают дробью, числитель которой равен числу оборотов по стеблю воображаемого винта одного листового цикла, а знаменатель- числу листьев в данном цикле, совпадающему с числом ортостих на стебле. Эта дробь позволяет рассчитать и угол расхождения листьев.

Рассмотрим, например, расположение листьев на стебле растения (Рис.3). Мы видим, что листья находятся на различных высотах стебля вдоль винтовой линии, обвивающейся вокруг его поверхности. Для того чтобы перейти от нижележащего листа к следующему, приходится мысленно повернуть лист на некоторый угол вокруг вертикальной оси стебля, а затем поднять его на определенный отрезок вверх. В этом и состоит суть «винтовой симметрии». Оказывается, что именно при таком расположении листьев достигается максимум притока солнечной энергии к растению.

Оказалось, что каждое растение характеризуется своим листорасположением. Так, у липы, вяза, бука, злаков листорасположение описывается формулой 1/2, у дуба и вишни – 2/5, у малины, груши, тополя, барбариса – 3/8, у миндаля, облепихи – 5/13 и т.д. Нетрудно видеть, что в формулах листорасположения встречаются числа Фибоначчи, расположенные через одно.

Рассмотренную закономерность расположения листьев, чешуек, семян называют филлотаксисом.

При изменении формулы листорасположения изменяется и угол расхождения листьев. Формула 1/2 характеризует двурядное расположение листьев под углом друг от друга. При формуле 1/3 угол между листьями будет , а при формуле 2/5 — и т.д. В предельном случае, когда отношение чисел в формуле будет отвечать золотой пропорции — 0,38196… угол расхождения листьев станет равным , который был назван «идеальным» углом, или углом золотой пропорции ( =Ф 2 ). Установлено, что при расположении листьев под идеальным углом ни один лист не будет располагаться точно над другим, чем создаются лучшие условия для фотосинтеза.

Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. (Рис. 4) От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.

Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

Интерес человека к природе привёл к открытию её физических и математических закономерностей. Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических сил – тяготении и инерции. Золотая пропорция – это математический символ этого взаимодействия, поскольку выражает основные моменты живого роста: стремительный взлёт юных побегов сменяется замедленным ростом «по инерции» до момента цветения. Рассматривая расположение листьев на общем стебле многих растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев третья расположена в месте золотого сечения. Точка С делит отрезок АВ в золотом отношении, точка Е делит отрезок DA в золотом отношении и так далее(Рис.5).

В соответствии с законами филлотаксиса ареолы (скопления колючек) кактуса располагаются по спиралям, причем число левых и правых спиралей для кактуса являются соседними числами Фибоначчи 21 и 34. Если теперь посмотреть на тот же кактус со стороны, то обнаруживается, что спирали на сравнительно небольшом участке поверхности выглядят как прямые линии, идущие по диагонали сверху вниз и слева направо или снизу вверх и справа налево. На рисунке 6 хорошо видно, что прямые, идущие в правом направлении, имеют меньший наклон, чем прямые, идущие в левом направлении. При этом число правых и левых диагоналей связаны фибоначиевой зависимостью. Действительно на фотографии отчетливо видно, что вначале примерно на 2 диагонали с правым наклоном приходится 3 диагонали с левым наклоном (2:3), затем на 3 правых диагонали 5 левых (3:5) и т.д.

Геометрическая модель рассмотренного на рисунке 7 участка кактуса представлена ниже в виде растровой сетки, в которой наклонные линии (с правым и левым наклоном) моделируют принцип расположения ареолов на поверхности кактуса.

Если теперь представить развертку поверхности всего кактуса на плоскости, то мы получим подобную растровую сетку, в которой имеется 21 диагоналей с правым наклоном и 34 диагоналей с левым наклоном. Созданная таким образом сеть линий («филлотаксисная растровая сетка») оказывается в эстетическом отношении столь же оптимальной, как и прямоугольник, построенный по принципу золотого сечения.

Строгую математику мы находим и в расположении лепестков на цветке розы и в разрезе яблока (пентаграмма), и в сосновой шишке, и в головке подсолнечника. И мы снова и снова убеждаемся в том, что все в природе подчинено единому плану, единым законам.

Источник